Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.3. Формула Грина 57
5-й ш а г. Установим (4) в условиях теоремы 1 при допол-
нительном предположении, что область D может быть разре-
зана на конечное число простых областей {D
i
}
I
i−1
.
Напишем формулу (4) для каждой простой области D
i
:
ZZ
D
i
∂P
∂y
dx dy = −
Z
∂D
+
i
P dx (1 6 i 6 I) (8)
и сложим почленно эти равенства. В силу аддитивности двой-
ного интеграла относительно области интегрирования и ра-
венства нулю интеграла по множеству нулевой меры
I
X
i=1
ZZ
D
i
∂P
∂y
dx dy =
ZZ
D
∂P
∂y
dx dy. (9)
При сложении правых частей (8) учтем, что
∂D
+
i
= ∂
0
D
+
i
∪ ∂
00
D
+
i
,
где ∂
0
D
i
= D ∩∂D
i
, ∂
00
D
i
= ∂D ∩ ∂D
i
— соответственно
«внутренняя» и «внешняя» части границы ∂D
i
. Ясно, что
S
I
i=1
∂
00
D
i
= ∂D.
Пусть при j 6= i множество E
ij
B ∂
0
D
i
∩ ∂
0
D
j
6= ∅. Тогда
оно представляет собой отрезок, наделенный противополож-
ными ориентациями (положительной относительно D
i
и поло-
жительной относительно D
j
). Поэтому при сложении правых
частей (8) «части» криволинейных интегралов по ∂D
+
i
и ∂D
+
j
(интегралы по отрезкам E
ij
) взаимно уничтожатся. Поэтому
I
X
i=1
Z
∂D
+
i
P dx =
I
X
i=1
Z
∂
00
D
+
i
P dx =
Z
∂D
+
P dx. (10)
Из (9) и (10) следует (4).
Итак, теорема 1 (формула (3)) установлена при дополни-
тельном предположении, что область D можно разрезать на
конечное число простых областей.
Примерами таких областей являются, очевидно, круг и
кольцо.
7-й ш а г. Для доказательства теоремы в приведенной фор-
мулировке достаточно воспользоваться следующей леммой.
                      § 20.3. Формула Грина                   57

   5-й ш а г. Установим (4) в условиях теоремы 1 при допол-
нительном предположении, что область D может быть разре-
зана на конечное число простых областей {Di }Ii−1 .
   Напишем формулу (4) для каждой простой области Di :
          ZZ                 Z
                ∂P
                   dx dy = −       P dx (1 6 i 6 I)     (8)
             Di ∂y            ∂Di+

и сложим почленно эти равенства. В силу аддитивности двой-
ного интеграла относительно области интегрирования и ра-
венства нулю интеграла по множеству нулевой меры
             I ZZ               ZZ
            X        ∂P              ∂P
                        dx dy =          dx dy.        (9)
                  Di ∂y            D ∂y
               i=1
   При сложении правых частей (8) учтем, что
                      ∂Di+ = ∂ 0 Di+ ∪ ∂ 00 Di+ ,
где ∂ 0 Di = D ∩ ∂Di , ∂ 00 Di = ∂D ∩ ∂Di — соответственно
«внутренняя»
SI             и «внешняя» части границы ∂Di . Ясно, что
        00
  i=1 ∂ Di = ∂D.
    Пусть при j 6= i множество Eij B ∂ 0 Di ∩ ∂ 0 Dj 6= ∅. Тогда
оно представляет собой отрезок, наделенный противополож-
ными ориентациями (положительной относительно Di и поло-
жительной относительно Dj ). Поэтому при сложении правых
частей (8) «части» криволинейных интегралов по ∂Di+ и ∂Dj+
(интегралы по отрезкам Eij ) взаимно уничтожатся. Поэтому
           I Z
           X                XI Z           Z
                  P dx =           P dx =          P dx.     (10)
         i=1   ∂Di+         i=1   ∂ 00 Di+          ∂D+

Из (9) и (10) следует (4).
   Итак, теорема 1 (формула (3)) установлена при дополни-
тельном предположении, что область D можно разрезать на
конечное число простых областей.
   Примерами таких областей являются, очевидно, круг и
кольцо.
   7-й ш а г. Для доказательства теоремы в приведенной фор-
мулировке достаточно воспользоваться следующей леммой.

Страницы