Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.3. Формула Грина 59
области. Прямоугольники Q
i
построенного покрытия
S
l
i=1
Q
i
назовем угловыми.
2-й ш а г. Часть границы ∂
0
D B ∂D \ int
S
l
i=1
Q
i
предста-
вляет собой конечное множество простых гладких кривых или
простых гладких контуров. Для построения покрытия ∂
0
D по-
строим покрытие для каждой кривой или контура в отдельно-
сти и объединим их. Пусть, например, сначала
Γ = {~r(t) : a 6 t 6 b} (11)
— простой гладкий контур и ~τ = (cos α, sin α) — единичный
вектор его касательной, где α = α(t) — угол между ~τ и поло-
жительным направлением оси Ox. Координаты ~τ, т. е. c os α и
sin α непрерывно зависят от t.
Разобьем отрезок [a, b] точками {t
j
}
j
∗
j=0
на конечное число
отрезков, так чтобы для каждой дуги
Γ
(j)
= {~r(t), t
j−1
6 t 6 t
j
}, 1 6 j 6 j
∗
(12)
выполнялось либо неравенство
tg |α| < 2 на [t
j−1
, t
j
]
(такую дугу будем называть дугой горизонтального типа),
либо неравенство
|ctg α| < 2 на [t
j−1
, t
j
]
(такую дугу будем называть дугой вертикального типа).
Такое разбиение отрезка [a, b] нетрудно построить, исполь-
зуя равномерную непрерывность cos α и sin α.
Заметим, что на дуге горизонтального типа в качестве па-
раметра можно взять координату x, а на дуге вертикального
типа — координату y точки.
Будем считать дополнительно, что дуги горизонтального
и вертикального типов чередуются (если это не так с самого
начала, то придем к этому, объединяя соседние дуги совпада-
ющих типов). За счет сдвига параметра можем считать, что
первая и последняя дуга в (12) имеют разные типы.
                    § 20.3. Формула Грина                   59

области. Прямоугольники Qi построенного покрытия li=1 Qi
                                                      S
назовем угловыми.
   2-й ш а г. Часть границы ∂ 0 D B ∂D \ int li=1 Qi предста-
                                            S
вляет собой конечное множество простых гладких кривых или
простых гладких контуров. Для построения покрытия ∂ 0 D по-
строим покрытие для каждой кривой или контура в отдельно-
сти и объединим их. Пусть, например, сначала
                     Γ = {~r(t) : a 6 t 6 b}               (11)
— простой гладкий контур и ~τ = (cos α, sin α) — единичный
вектор его касательной, где α = α(t) — угол между ~τ и поло-
жительным направлением оси Ox. Координаты ~τ , т. е. cos α и
sin α непрерывно зависят от t.
                                           ∗
    Разобьем отрезок [a, b] точками {tj }jj=0 на конечное число
отрезков, так чтобы для каждой дуги
           Γ(j) = {~r(t), tj−1 6 t 6 tj },   1 6 j 6 j∗    (12)
выполнялось либо неравенство
                    tg |α| < 2 на [tj−1 , tj ]
(такую дугу будем называть дугой горизонтального типа),
либо неравенство
                   | ctg α| < 2   на [tj−1 , tj ]
(такую дугу будем называть дугой вертикального типа).
   Такое разбиение отрезка [a, b] нетрудно построить, исполь-
зуя равномерную непрерывность cos α и sin α.
   Заметим, что на дуге горизонтального типа в качестве па-
раметра можно взять координату x, а на дуге вертикального
типа — координату y точки.
   Будем считать дополнительно, что дуги горизонтального
и вертикального типов чередуются (если это не так с самого
начала, то придем к этому, объединяя соседние дуги совпада-
ющих типов). За счет сдвига параметра можем считать, что
первая и последняя дуга в (12) имеют разные типы.

Страницы