Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.3. Формула Грина 61
(ˆr(t
j
)), то прямоугольник P
j1
(P
ji
j
) можно сдвинуть парал-
лельно оси Oy настолько, чтобы добиться его выполнения. Та-
кая возможность основана на том, что в переходных точках
1
2
6 |tg α| 6 2, так что на [x
0
, x
1
] и на [x
i
j
−1
, x
i
j
] можно счи-
тать выполненной оценку
1
4
6 |ψ
0
| 6 4.
Пусть теперь кривая (11) не является контуром. Это озна-
чает, что ее начало и конец лежат на сторонах угловых прямо-
угольников (различных или одного и того же). Рассуждая так
же, как в случае, когда кривая является контуром, построим
для каждой ее дуги из (12) покрытие семейством прямоуголь-
ников {P
ji
}
i
j
i=1
со свойствами 1
◦
, 2
◦
, 3
◦
и 4
◦◦
, 5
◦
, где последние
два из них формулируются следующим образом:
4
◦◦
каждая из концевых точек ˆr(t
j−1
), ˆr(t
j
) совпадает с вер-
шиной одного из концевых прямоугольников, если ка-
сательная Γ
(j)
в ней не параллельна ни одной из осей
координат, и совпадает с серединой стороны одного из
концевых прямоугольников, если касательная в ней па-
раллельна одной из координатных осей;
5
◦
int P
ji
не пересекаются ни с одним из угловых прямо-
угольников Q
k
.
Перенумеровав заново все построенные прямоугольники P
ji
для всех простых гладких дуг из ∂
0
D, получим семейство
{P
j
}
m
j=1
прямоугольников, попарно не имеющих общих вну-
тренних точек, и таких, что
l
[
i=1
Q
i
!
∪
m
[
j=1
P
j
⊃ ∂D.
Проведем все прямые, содержащие все стороны всех пря-
моугольников Q
i
и P
j
. Из образовавшихся таким образом (за-
мкнутых) прямоугольников занумеруем и обозначим через R
k
(1 6 k 6 r) те, которые пересекаются с D, но не имеют общих
внутренних точек ни с одним из прямоугольников Q
i
и P
j
. То-
гда R
k
⊂ D. В самом деле, допустив, что в R
k
имеются точки
из D и из R
2
\ D, на соединяющем их отрезке получим точку
(x
∗
, y
∗
) ⊂ (∂D) ∩ int R
k
. Следовательно, R
k
имеет общую вну-
                      § 20.3. Формула Грина                       61

(r̂(tj )), то прямоугольник Pj1 (Pjij ) можно сдвинуть парал-
лельно оси Oy настолько, чтобы добиться его выполнения. Та-
кая возможность основана на том, что в переходных точках
1 6 | tg α| 6 2, так что на [x , x ] и на [x
2                             0 1           ij −1 , xij ] можно счи-

тать выполненной оценку 41 6 |ψ 0 | 6 4.
    Пусть теперь кривая (11) не является контуром. Это озна-
чает, что ее начало и конец лежат на сторонах угловых прямо-
угольников (различных или одного и того же). Рассуждая так
же, как в случае, когда кривая является контуром, построим
для каждой ее дуги из (12) покрытие семейством прямоуголь-
            ij
ников {Pji }i=1 со свойствами 1◦ , 2◦ , 3◦ и 4◦◦ , 5◦ , где последние
два из них формулируются следующим образом:
   4◦◦ каждая из концевых точек r̂(tj−1 ), r̂(tj ) совпадает с вер-
       шиной одного из концевых прямоугольников, если ка-
       сательная Γ(j) в ней не параллельна ни одной из осей
       координат, и совпадает с серединой стороны одного из
       концевых прямоугольников, если касательная в ней па-
       раллельна одной из координатных осей;
    5◦ int Pji не пересекаются ни с одним из угловых прямо-
       угольников Qk .
    Перенумеровав заново все построенные прямоугольники Pji
для всех простых гладких дуг из ∂ 0 D, получим семейство
{Pj }m
     j=1 прямоугольников, попарно не имеющих общих вну-
тренних точек, и таких, что
                      l
                          ! m          
                     [         [
                        Qi ∪       Pj  ⊃ ∂D.
                     i=1          j=1

     Проведем все прямые, содержащие все стороны всех пря-
моугольников Qi и Pj . Из образовавшихся таким образом (за-
мкнутых) прямоугольников занумеруем и обозначим через Rk
(1 6 k 6 r) те, которые пересекаются с D, но не имеют общих
внутренних точек ни с одним из прямоугольников Qi и Pj . То-
гда Rk ⊂ D. В самом деле, допустив, что в Rk имеются точки
из D и из R2 \ D, на соединяющем их отрезке получим точку
(x∗ , y ∗ ) ⊂ (∂D) ∩ int Rk . Следовательно, Rk имеет общую вну-

Страницы