Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

54 Глава 20. Криволинейные интегралы
D =
S
k
i=1
D
i
, где D
i
— трапеции
D
i
= {(x, y) : ϕ(y) < x < ψ(y), c
i−1
< y < c
i
},
каждая из которых является простой областью относительно
оси Oy.
D
x = ϕ(y)
x = ψ(y)
c = c
0
c
1
c
2
c
3
d = c
4
x
y
Рис. 20.3
По доказанному на первом шаге
ZZ
D
i
∂P
∂y
dx dy = −
Z
∂D
+
i
P dx, i = 1, . . . , k.
Сложим полученные равенства почленно. Тогда в левой части
в силу аддитивности двойного интеграла относительно обла-
сти интегрирования получим
ZZ
D
∂P
∂y
P dx dy =
k
X
i=1
ZZ
D
i
∂P
∂y
P dx dy.
В правой же части получим
k
X
i=1
−
Z
∂D
i
P dx = −
Z
∂D
+
P dx,
поскольку при сложении криволинейных интегралов по ∂D
+
i
и
∂D
+
i+1
взаимно уничтожаются их части по отрезку
{(x, y) : ϕ(c
i
) 6 x 6 ψ(c
i
), y = c
i
}
как криволинейные интегралы второго рода, отличающиеся
лишь ориентацией кривой. Таким образом, формула (4) уста-
новлена.
54                   Глава 20. Криволинейные интегралы
      Sk
D=      i=1 D i ,   где Di — трапеции
           Di = {(x, y) : ϕ(y) < x < ψ(y), ci−1 < y < ci },
каждая из которых является простой областью относительно
оси Oy.
                     y

             d = c4




                                                                    x = ψ(y)
                         x = ϕ(y)

                 c3
                 c2                             D
                 c1
             c = c0

                                                                               x
                                          Рис. 20.3

     По доказанному на первом шаге
          ZZ                Z
               ∂P
                  dx dy = −       P dx,                     i = 1, . . . , k.
            Di ∂y            ∂Di+

Сложим полученные равенства почленно. Тогда в левой части
в силу аддитивности двойного интеграла относительно обла-
сти интегрирования получим
           ZZ               k ZZ
               ∂P           X       ∂P
                  P dx dy =            P dx dy.
             D ∂y                Di ∂y       i=1
     В правой же части получим
                X k   Z            Z
                    −     P dx = −                          P dx,
                      i=1           ∂Di               ∂D+

поскольку при сложении криволинейных интегралов по ∂Di+ и
   +
∂Di+1 взаимно уничтожаются их части по отрезку
                    {(x, y) : ϕ(ci ) 6 x 6 ψ(ci ), y = ci }
как криволинейные интегралы второго рода, отличающиеся
лишь ориентацией кривой. Таким образом, формула (4) уста-
новлена.

Страницы