Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52 Глава 20. Криволинейные интегралы
Плоскую область D назовем простой, если она является
простой относительно хотя бы одной из координатных осей.
Будем говорить, что ограниченная плоская область D раз-
резана на конечное число простых областей {D
i
}
I
i=1
, если
1.
◦
S
I
i=1
D
i
⊂ D;
2.
◦
D
i
∩ D
j
= ∅ при i 6= j;
3.
◦
S
I
i=1
D
i
= D;
4.
◦
(∂D
i
∩ ∂D
j
) \ ∂D при i 6= j является либо пустым мно-
жеством, либо отрезком прямой.
В этом параграфе будут рассматриваться лишь такие плос-
кие области, которые можно разрезать на конечное число про-
стых.
Теорема 1 (формула Грина). Пусть D ⊂ R
2
— ограни-
ченная плоская область, граница ∂D которой состоит из конеч-
ного числа попарно непересекающихся простых кусочно глад-
ких контуров Γ
i
(∂D =
S
k
i=1
Γ
i
), ориентированных положи-
тельно относительно области D (∂D
+
=
S
k
i=1
Γ
+
i
).
Пусть на замкнутой области D задано векторное поле
~a(x, y) = P (x, y)~ı+Q(x, y)~, причем P , Q,
∂P
∂y
,
∂Q
∂x
непрерывны
на D (подразумевается, что
∂P
∂y
,
∂Q
∂x
непрерывны на D и не-
прерывно продолжены на D).
Тогда справедлива формула Грина:
ZZ
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy =
Z
∂D
+
P dx + Q dy =
Z
∂D
(~a, d~r). (3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы установим эту теорему сна-
чала при дополнительном предположении, что область D
может быть разрезана на конечное число простых областей.
Затем снимем это предположение.
Достаточно установить (3) при Q ≡ 0, т. е. в виде
ZZ
D
∂P
∂y
dx dy = −
Z
∂D
+
P dx, (4)
т. к. случай P ≡ 0 рассматривается аналогично и вместе они
приводят к формуле (3) общего вида.
52              Глава 20. Криволинейные интегралы

   Плоскую область D назовем простой, если она является
простой относительно хотя бы одной из координатных осей.
   Будем говорить, что ограниченная плоская область D раз-
резана на конечное число простых областей {Di }Ii=1 , если
    1.◦ Ii=1 Di ⊂ D;
        S
    2.◦ Di ∩ Dj = ∅ при i 6= j;
    3.◦ Ii=1 Di = D;
        S
    4.◦ (∂Di ∩ ∂Dj ) \ ∂D при i 6= j является либо пустым мно-
        жеством, либо отрезком прямой.
   В этом параграфе будут рассматриваться лишь такие плос-
кие области, которые можно разрезать на конечное число про-
стых.
    Теорема 1 (формула Грина). Пусть D ⊂ R2 — ограни-
ченная плоская область, граница ∂D которой состоит из конеч-
ного числа попарно непересекающихся           простых кусочно глад-
ких контуров Γi (∂D = ki=1 Γi ), ориентированных положи-
                                S

тельно относительно области D (∂D+ = ki=1 Γ+
                                                S
                                                       i ).
    Пусть на замкнутой области D задано векторное поле
                                                      ∂Q
~a(x, y) = P (x, y)~ı + Q(x, y)~, причем P , Q, ∂P
                                                 ∂y , ∂x непрерывны
                                 ∂Q
на D (подразумевается, что ∂P
                            ∂y , ∂x непрерывны на D и не-
прерывно продолжены на D).
   Тогда справедлива формула Грина:
  ZZ                    Z                   Z
       ∂Q ∂P
           −      dx dy =       P dx + Q dy =     (~a, d~r). (3)
    D   ∂x   ∂y            ∂D+                 ∂D

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы установим эту теорему сна-
чала при дополнительном предположении, что область D
может быть разрезана на конечное число простых областей.
Затем снимем это предположение.
    Достаточно установить (3) при Q ≡ 0, т. е. в виде
                   ZZ                   Z
                         ∂P
                              dx dy = −      P dx,         (4)
                      D ∂y               ∂D+
т. к. случай P ≡ 0 рассматривается аналогично и вместе они
приводят к формуле (3) общего вида.

Страницы