Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

50 Глава 20. Криволинейные интегралы
=
Z
A
i−1
A
i
A
i−1
A
i
(P (x, y, z) − P (A
i
)) dx +
Z
A
i−1
A
i
A
i−1
A
i
P (A
i
) dx,
где
A
i−1
A
i
A
i−1
A
i
означает контур, составленный из дуги
A
i−1
A
i
и ее хорды.
Последний интеграл равен нулю в силу свойства 5
◦
криво-
линейных интегралов второго рода.
В силу (9)
|∆
i
| < η2(s(t
i
) −s(t
i−1
)),
где s(t) — переменная длина дуги Γ, отсчитываемая от ее на-
чала. Следовательно,
Z
Λ
τ
P dx −
Z
Γ
P dx
=
i
τ
X
i=1
∆
i
< 2ηS,
где S — длина дуги Γ.
В силу произвольности η > 0 приходим к утверждению
леммы.
§ 20.3. Формула Грина
При изучении криволинейных интегралов рассматривались
интегралы по кривой, лежащей в трехмерном пространстве R
3
.
В частности, кривая может лежать в плоскости (такая кривая
называется плоской кривой). В этом случае удобно считать
эту плоскость координатной, имеющей уравнение z = 0. Тогда
кривая Γ имеет в этой плоскости уравнение
Γ = {(x = x(t), y = y(t)), a 6 t 6 b},
а криволинейный интеграл первого рода записывается в виде
R
Γ
F (x, y) ds.
Если на Γ задано векторное поле~a(x, y) = P (x, y)~ı+Q(x, y)~,
то криволинейный интеграл второго рода имеет вид
Z
Γ
P dx + Q dy =
Z
Γ
(~a, d~r).
Все рассмотренные свойства криволинейных интегралов
верны, разумеется, и в плоском случае.
50                   Глава 20. Криволинейные интегралы
               Z                                              Z
     =                     (P (x, y, z) − P (Ai )) dx +                  P (Ai ) dx,
                                                         
         Ai−1 Ai Ai−1 Ai                               Ai−1 Ai Ai−1 Ai
     
где Ai−1 Ai Ai−1 Ai означает контур, составленный из дуги

Ai−1 Ai и ее хорды.
   Последний интеграл равен нулю в силу свойства 5◦ криво-
линейных интегралов второго рода.
   В силу (9)
                    |∆i | < η2(s(ti ) − s(ti−1 )),
где s(t) — переменная длина дуги Γ, отсчитываемая от ее на-
чала. Следовательно,
              Z            Z            Xiτ
                  P dx − P dx =             ∆i < 2ηS,
                     Λτ             Γ            i=1
где S — длина дуги Γ.
   В силу произвольности η > 0 приходим к утверждению
леммы.

                           § 20.3. Формула Грина
   При изучении криволинейных интегралов рассматривались
интегралы по кривой, лежащей в трехмерном пространстве R3 .
В частности, кривая может лежать в плоскости (такая кривая
называется плоской кривой). В этом случае удобно считать
эту плоскость координатной, имеющей уравнение z = 0. Тогда
кривая Γ имеет в этой плоскости уравнение
                   Γ = {(x = x(t), y = y(t)), a 6 t 6 b},
а
R криволинейный интеграл первого рода записывается в виде
 Γ F (x, y) ds.
    Если на Γ задано векторное поле~a(x, y) = P (x, y)~ı+Q(x, y)~,
то криволинейный интеграл второго рода имеет вид
                  Z                Z
                     P dx + Q dy = (~a, d~r).
                             Γ                   Γ
   Все рассмотренные свойства криволинейных интегралов
верны, разумеется, и в плоском случае.

Страницы