Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.2. Криволинейные интегралы второго рода 49
будем считать ориентированной (при движении точки по ней
ее вершины проходятся в порядке возрастания чисел i, ˆr(a) —
начало ломаной, ˆr(b) — ее конец).
Лемма 1 (об аппроксимации криволинейного инте-
грала). Пусть Γ = {~r(t): a 6 t 6 b} — гладкая ориентирован-
ная кривая в R
3
, τ = {t
i
}
i
τ
i=0
— разбиение отрезка [a, b], Λ
τ
—
вписанная в Γ ломаная.
Пусть E — компакт в R
3
(т. е. ограниченное замкнутое
множество), содержащий Γ и Λ
τ
при всех достаточно малых
|τ|.
Пусть на E заданы непрерывные функции P , Q, R. Тогда
lim
|τ|→0
Z
Λ
τ
P dx + Q dy + R dz =
Z
Γ
P dx + Q dy + R dz.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для случая Q ≡
≡ R ≡ 0. Положим A
i
= ˆr(t
i
),
A
i−1
A
i
= {~r(t): t
i−1
6 t 6 t
i
},
через A
i−1
A
i
обозначим звено вписанной ломаной с началом в
A
i−1
и концом в A
i
. Пусть ε > 0. В силу равномерной непре-
рывности ~r = ~r(t) на [a, b] существует δ = δ(ε) > 0 такое, что
при произвольном разбиении τ , |τ| < δ, Λ
τ
⊂ E,
|~r(t) −~r(t
i
)| < ε ∀t ∈ [t
i−1
, t
i
], ∀i = 1, . . . , i
τ
, (8)
так что
A
i−1
A
i
и A
i−1
A
i
лежат в E ∩U
ε
(A
i−1
).
Зададим произвольно η > 0. В силу непрерывности, а зна-
чит, и равномерной непрерывности P на E существует ε =
= ε(η) > 0 такое, что
|P (M) − P (A
i
)| < η,
если M ∈ E ∩ U
ε
(A
i−1
), i ∈ {1, . . . , i
τ
}. (9)
Будем считать, что |τ| < δ, где δ = δ(ε) выбрано по ε = ε(η),
так что выполняются оценки (8), (9). Оце ним разность инте-
гралов
∆
i
B
Z
A
i−1
A
i
P dx −
Z
A
i−1
A
i
P dx =
Z
A
i−1
A
i
A
i−1
A
i
P dx =
           § 20.2. Криволинейные интегралы второго рода                      49

будем считать ориентированной (при движении точки по ней
ее вершины проходятся в порядке возрастания чисел i, r̂(a) —
начало ломаной, r̂(b) — ее конец).
      Лемма 1 (об аппроксимации криволинейного инте-
грала). Пусть Γ = {~r(t): a 6 t 6 b} — гладкая ориентирован-
ная кривая в R3 , τ = {ti }ii=0
                             τ
                                — разбиение отрезка [a, b], Λτ —
вписанная в Γ ломаная.
      Пусть E — компакт в R3 (т. е. ограниченное замкнутое
множество), содержащий Γ и Λτ при всех достаточно малых
|τ |.
      Пусть на E заданы непрерывные функции P , Q, R. Тогда
            Z                        Z
        lim    P dx + Q dy + R dz =    P dx + Q dy + R dz.
      |τ |→0 Λτ                                 Γ

   Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для случая Q ≡
                                   
≡ R ≡ 0. Положим Ai = r̂(ti ), Ai−1 Ai = {~r(t): ti−1 6 t 6 ti },
через Ai−1 Ai обозначим звено вписанной ломаной с началом в
Ai−1 и концом в Ai . Пусть ε > 0. В силу равномерной непре-
рывности ~r = ~r(t) на [a, b] существует δ = δ(ε) > 0 такое, что
при произвольном разбиении τ , |τ | < δ, Λτ ⊂ E,
          |~r(t) −~r(ti )| < ε ∀ t ∈ [ti−1 , ti ],   ∀ i = 1, . . . , iτ ,   (8)
            
так что Ai−1 Ai и Ai−1 Ai лежат в E ∩ Uε (Ai−1 ).
   Зададим произвольно η > 0. В силу непрерывности, а зна-
чит, и равномерной непрерывности P на E существует ε =
= ε(η) > 0 такое, что
|P (M ) − P (Ai )| < η,
                    если    M ∈ E ∩ Uε (Ai−1 ),        i ∈ {1, . . . , iτ }. (9)
Будем считать, что |τ | < δ, где δ = δ(ε) выбрано по ε = ε(η),
так что выполняются оценки (8), (9). Оценим разность инте-
гралов
       Z           Z                 Z
∆i B      P dx −         P dx =             P dx =
                       Ai−1 Ai
                                          
     Ai−1 Ai                             Ai−1 Ai Ai−1 Ai

Страницы