Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 20. Криволинейные интегралы
5.
◦
Если A = (x
a
, y
a
, z
a
), B = (x
b
, y
b
, z
b
), то
Z
AB
dx = x
b
− x
a
,
Z
AB
dy = y
b
− y
a
,
Z
AB
dz = z
b
− z
a
.
6.
◦
Криволинейные интегралы как первого, так и вто-
рого рода обладают свойством аддитивности относи-
тельно кривой интегрирования.
Поясним его. Пусть кривая Γ задана уравнением (1), a < c < b,
Γ
1
= {~r(t), a 6 t 6 c}, Γ
2
= {~r(t), c 6 t 6 b}.
Тогда
Z
Γ
(~a, d~r) =
Z
Γ
1
(~a, d~r) +
Z
Γ
2
(~a, d~r),
если интеграл слева или оба интеграла справа существуют.
Это свойство следует из выражения (3) криволинейного ин-
теграла второго рода через определенный интеграл и аддитив-
ности определенного интеграла относительно отрезков инте-
грирования.
Обобщим понятие криволинейных интегралов первого и
второго рода на интегрирование по кусочно гладким кривым.
Определение 2. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} — кусочно
гладкая (ориентированная) кривая, a = a
0
< a
1
< . . . < a
k
=
= b, Γ
i
= {~r(t), a
i−1
6 t 6 a
i
} (i = 1, . . . , k) — гладкие
(ориентированные) кривые.
Тогда
Z
Γ
F ds B
k
X
i=1
Z
Γ
i
F ds
Z
Γ
(~a, d~r) B
k
X
i=1
Z
Γ
i
(~a, d~r)
!
,
если каждый из интегралов в правой части равенства суще-
ствует.
Пусть ориентированная кривая Γ = {~r(t): a 6 t 6 b} ⊂ R
3
,
τ = {t
i
}
i
τ
i=0
— разбиение отрезка [a, b], |τ| = max(t
i
− t
i−1
) —
мелкость разбиения. Пусть Λ
τ
— ломаная с вершинами в точ-
ках ˆr(t
i
), последовательно соединенных ее звеньями. Такая ло-
маная называется вписанной в кривую Γ. Ломаную Λ
τ
также
48                Глава 20. Криволинейные интегралы

     5.◦ Если A = (xa , ya , za ), B = (xb , yb , zb ), то
           Z                      Z                      Z
             dx = xb − xa ,         dy = yb − ya ,         dz = zb − za .
                                                              
          AB                       AB                           AB
   6.◦ Криволинейные интегралы как первого, так и вто-
       рого рода обладают свойством аддитивности относи-
       тельно кривой интегрирования.
Поясним его. Пусть кривая Γ задана уравнением (1), a < c < b,
        Γ1 = {~r(t), a 6 t 6 c}, Γ2 = {~r(t), c 6 t 6 b}.
Тогда          Z              Z             Z
                  (~a, d~r) =   (~a, d~r) +   (~a, d~r),
                   Γ               Γ1                  Γ2
если интеграл слева или оба интеграла справа существуют.
   Это свойство следует из выражения (3) криволинейного ин-
теграла второго рода через определенный интеграл и аддитив-
ности определенного интеграла относительно отрезков инте-
грирования.
   Обобщим понятие криволинейных интегралов первого и
второго рода на интегрирование по кусочно гладким кривым.
   Определение 2. Пусть Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} — кусочно
гладкая (ориентированная) кривая, a = a0 < a1 < . . . < ak =
= b, Γi = {~r(t), ai−1 6 t 6 ai } (i = 1, . . . , k) — гладкие
(ориентированные) кривые.
   Тогда             Z        Xk Z
                       F ds B        F ds
                            Γ             i=1 Γi
                                           k Z
                       Z                                    !
                                          X
                            (~a, d~r) B              (~a, d~r) ,
                        Γ                 i=1   Γi

если каждый из интегралов в правой части равенства суще-
ствует.
   Пусть ориентированная кривая Γ = {~r(t): a 6 t 6 b} ⊂ R3 ,
τ = {ti }ii=0
            τ
               — разбиение отрезка [a, b], |τ | = max(ti − ti−1 ) —
мелкость разбиения. Пусть Λτ — ломаная с вершинами в точ-
ках r̂(ti ), последовательно соединенных ее звеньями. Такая ло-
маная называется вписанной в кривую Γ. Ломаную Λτ также

Страницы