Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 47 стр.

          § 20.2. Криволинейные интегралы второго рода              47

     2.◦ (Выражение криволинейного интеграла второго рода
         через криволинейный интеграл первого рода).
 Z                            Z
       P dx + Q dy + R dz =       [P cos α + Q cos β + R cos γ] ds. (7)
   Γ                          Γ

   Для обоснования достаточно в (3) заменить x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)
на равные им величины:
                           dx 0
                      x0 =     |~r | = cos α|~r0 |,
                           ds
                           dy 0
                      y0 =    |~r | = cos β|~r0 |,
                           ds
                           dz 0
                      z0 =    |~r | = cos γ|~r0 |,
                           ds
где штрих означает взятие производной по t, и сравнить полу-
ченный интеграл с криволинейным интегралом (20.1.2).
     3.◦ Криволинейный интеграл второго рода не зависит от
         параметризации гладкой кривой Γ с фиксированной ори-
         ентацией.
    Доказательство такое же, как для криволинейного инте-
грала первого рода. Следует лишь учесть дополнительное тре-
бование t0 (τ ) > 0 на допустимую замену параметра t = t(τ ),
означающее сохранение ориентации кривой Γ (1) при переходе
к ее параметрическому заданию с помощью параметра τ .
    4.◦ Криволинейный интеграл второго рода меняет знак на
        противоположный при изменении ориентации кривой Γ
        на противоположную.
    Для обоснования воспользуемся равенством (7). Напомним,
что интеграл первого рода не меняется при изменении ориента-
ции кривой. В то же время в (7) множители cos α, cos β, cos γ,
а значит, и все подынтегральное выражение меняют знак на
противоположный.
    Следовательно, и интеграл в правой части (7) меняет знак
на противоположный.