Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 46 стр.

46                  Глава 20. Криволинейные интегралы

(направленный в сторону возрастания параметра на кривой)
непрерывно зависит от параметра t.
   Определение 1. Пусть фиксирована декартова система
координат в R3 и векторное поле (т. е. вектор-функция) ~a =
= (P, Q, R) задано на множестве Γ. Тогда
Z
   P dx + Q dy + R dz B
 Γ
        Z b
     B      [P (x(t), y(t), z(t))x0 (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t)+
          a
                                                        Z b
                                            0
                      +R(x(t), y(t), z(t))z (t)] dt =       (~a,~r0 ) dt (3)
                                                                    a
называется криволинейным интегралом второго рода от век-
торного поля ~a = (P, Q, R) поR кривой Γ. Интеграл (3) часто
обозначают также символом Γ (~a, d~r).
    В частности, когда лишь одна компонента векторного поля
~a отлична от нуля, получаем следующие криволинейные ин-
тегралы второго рода от функций (соответственно P , Q, R):
            Z          Z b
               P dx B      P (x(t), y(t), z(t))x0 (t) dt, (4)
                Γ                a
               Z                Z    b
                       Q dy B            Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t) dt,   (5)
               ZΓ               Za   b
                       R dz B            R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t) dt.   (6)
                   Γ             a
     Если Γ является контуром (т. е. замкнутой кривой), то кри-
волинейный интеграл (3) называется циркуляцией векторного
поля ~a по контуру Γ.
     Установим некоторые свойства криволинейного интеграла
второго рода.
     1.◦ Для существования интеграла (3) достаточно,
         чтобы функции P (x(t), y(t), z(t)), Q(x(t), y(t), z(t)),
         R(x(t), y(t), z(t)) (как функции переменной t) были
         интегрируемы на отрезке [a, b].
R    В  частности,   если поле ~a = (P, Q, R) непрерывно на Γ, то
  Γ P dx + Q dy + R dz существует.