Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 45 стр.

         § 20.2. Криволинейные интегралы второго рода                45

ее дуги S, отсчитываемую от A. Тогда Γ описывается уравне-
нием
     Γ = {~r(s), 0 6 s 6 S} = {(x(s), y(s), z(s)), 0 6 s 6 S},
где S — длина кривой, а интеграл (1) равен
           Z                    Z S
               F (x, y, z) ds =     F (x(s), y(s), z(s)) ds.        (4)
             Γ                   0
    3.◦ Γ ds = S, где S — длина дуги Γ.
        R

   Для обоснования достаточно воспользоваться формулой (4)
при F = 1.
                              iτ
   4.◦ Γ F (x, y, z) ds = lim
       R                      P
                                 F (x(ξi ), y(ξi ), z(ξi ))∆si , где τ =
                           |τ |→0 i=1
       = {si }ii=0
                τ
                   — разбиение отрезка [0, S], ∆si = si − si−1
       — длина дуги кривой Γ от точки r̂(si−1 ) до точки r̂(si ),
       si−1 6 ξi 6 si .
   Для доказательства свойства 4◦ заметим, что под знаком
предела в правой части стоит интегральная сумма Римана ин-
теграла из правой части (4), так что по определению опре-
деленного интеграла этот предел равен интегралу из правой
части (4).
   З а м е ч а н и е. Часто криволинейный интеграл пер-
вого рода определяют формулой (4). В этом случае от кривой
Γ требуется лишь свойство быть спрямляемой.

  § 20.2. Криволинейные интегралы второго рода
   Пусть
      Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} = {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b}      (1)
— гладкая ориентированная кривая в трехмерном простран-
стве, A = r̂(a) — ее начало, B = r̂(b) — ее конец. Часто такую
                                     
кривую обозначают символом AB. Ее единичный касательный
вектор
                 0                     
       ~t = 0 ~r   (t)     dx   dy   dz
                       =      ,    ,      = (cos α, cos β, cos γ) (2)
             |~r (t)|      ds ds ds