Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 43 стр.

                 Глава 20
        КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

    § 20.1. Криволинейные интегралы первого рода
   Пусть в трехмерном евклидовом пространстве R3 задана
гладкая кривая
          Γ = {~r(t), a 6 t 6 b} = {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b},   (1)
т. е. непрерывно дифференцируемая кривая без особых то-
чек (последнее условие означает, что |r0 (t)|2 = x02 (t) + y 02 (t) +
+ z 02 (t) > 0 на [a, b]).
   Определение 1. Пусть числовая функция F : E → R за-
дана на множестве Γ. Тогда
        Z                   Z b
           F (x, y, z) ds B     F (x(t), y(t), z(t))|~r0 (t)| dt (2)
                Γ                      a
называется криволинейным интегралом первого рода от функ-
ции F по кривой Γ.
   Установим некоторые свойства криволинейного инте-
грала (2).
    1.◦ Для существования интеграла Γ F (x, y, z) ds необхо-
                                          R

        димо и достаточно, чтобы функция F (x(t), y(t), z(t))
        (как функция переменной t) была интегрируемой на
        отрезке [a, b]. В частности,R если F непрерывна на Γ
        (см. определение 10.5.2), то Γ F (x, y, z) ds существует.
      ◦
    2. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от
        параметризации гладкой кривой Γ.
   Пусть t = t(τ ) — допустимая замена параметра на Γ
(см. § 8.2), ~ρ(τ ) = ~r(t(τ )). Тогда
                             Γ = {~ρ(τ ), α 6 τ 6 β}.
        Совершив замену переменной в интеграле, получаем
Z   β
        F (x(t(τ )), y(t(τ )), z(t(τ )))|~ρ0 (τ )| dτ =
 α