Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.5. Замена переменных в кратном интеграле 41
6 max
P
|J|
i
τ
X
i=1
ω(
˜
f, E
i
)µE
i
→ 0 при |τ
∗
| → 0,
поскольку при этом в с илу (13) и |τ | → 0.
В силу критерия интегрируемости существует интеграл
в левой части (2). Установим теперь само неравенство (2).
Воспользуемся разбиениями (12), в которых будем считать за-
мкнутыми множества E
i
= E
i
. Пусть в точке (u
i
, v
i
) достига-
ется
max
E
i
|J| = |J(u
i
, v
i
)|, x
i
= x(u
i
, v
i
), y
i
= y(u
i
, v
i
).
Тогда
i
τ
X
i=1
f(x
i
, y
i
)µE
∗
i
=
i
τ
X
i=1
f(x
i
, y
i
)
ZZ
E
i
|J(u, v)|du dv 6
6
i
τ
X
i=1
f[x(u
i
, v
i
), y(u
i
, v
i
)]|J(u
i
, v
i
)|µE
i
.
Переходя к пределу в этом неравенстве для сумм Римана
при |τ | → 0 (а значит, и |τ
∗
| → 0), приходим к неравенству (2).
Оставшаяс я часть доказательства теоремы 2 повторяет со-
ответствующую часть доказательства теоремы 1, если исполь-
зовать свойство полной аддитивности интеграла по множе-
ствам в более общей форме. Сформулируем его в виде леммы.
Лемма 1. Пусть G, G
i
— измеримые множества n-мерного
евклидова пространства, G
1
⊂ G
2
⊂ . . . ⊂ G, µ(G \ G
i
) → 0
при i → ∞. Пусть функция f ограничена на G и интегрируема
на любом G
i
.
Тогда f интегрируема на G и
lim
i→∞
Z
G
i
f dx =
Z
G
f dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о ле ммы предоставляется читателю.
Приведем обобщения теорем 1, 2 на n-мерный случай.
            § 19.5. Замена переменных в кратном интеграле                                  41

                                          iτ
                                          X
                       6 max |J|                ω(f˜, Ei )µEi → 0 при |τ ∗ | → 0,
                             P
                                          i=1

поскольку при этом в силу (13) и |τ | → 0.
   В силу критерия интегрируемости существует интеграл
в левой части (2). Установим теперь само неравенство (2).
Воспользуемся разбиениями (12), в которых будем считать за-
мкнутыми множества Ei = E i . Пусть в точке (ui , vi ) достига-
ется
      max |J| = |J(ui , vi )|, xi = x(ui , vi ), yi = y(ui , vi ).
          Ei

      Тогда
iτ
X                          iτ
                           X                    ZZ
      f (xi , yi )µEi∗ =         f (xi , yi )        |J(u, v)| du dv 6
i=1                        i=1                  Ei
                                          iτ
                                          X
                                      6         f [x(ui , vi ), y(ui , vi )]|J(ui , vi )|µEi .
                                          i=1

   Переходя к пределу в этом неравенстве для сумм Римана
при |τ | → 0 (а значит, и |τ ∗ | → 0), приходим к неравенству (2).
   Оставшаяся часть доказательства теоремы 2 повторяет со-
ответствующую часть доказательства теоремы 1, если исполь-
зовать свойство полной аддитивности интеграла по множе-
ствам в более общей форме. Сформулируем его в виде леммы.

   Лемма 1. Пусть G, Gi — измеримые множества n-мерного
евклидова пространства, G1 ⊂ G2 ⊂ . . . ⊂ G, µ(G \ Gi ) → 0
при i → ∞. Пусть функция f ограничена на G и интегрируема
на любом Gi .

      Тогда f интегрируема на G и
                          Z       Z
                      lim   f dx = f dx.
                             i→∞
                                Gi                   G

      Д о к а з а т е л ь с т в о леммы предоставляется читателю.
      Приведем обобщения теорем 1, 2 на n-мерный случай.

Страницы