Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

40 Глава 19. Кратные интегралы
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Применим (11) к
int Q
h
. По теореме о среднем для интеграла имеем
µF (Q
h
) = |J(˜u
h
, ˜v
h
)|µQ
h
,
G
h
3 (˜u
h
, ˜v
h
) → (u
0
, v
0
) при h → 0.
Отсюда следует утверждение теоремы 1.
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1
◦
, 2
◦
, 3
◦
теоремы 1
и, кроме того, f ограничена на G
∗
, а произведение
f[x(u, v), y(u, v)]J(u, v) ограничено на G.
Тогда, если существует один из интегралов в (1), то суще-
ствует и другой, и справедливо равенство (1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим для определенности
лишь случай, когда существует интеграл из правой части (1).
Будем считать, что f > 0, так как общий с лучай функции f
произвольного знака немедленно сводится к этому с помощью
представления f = f
+
− f
−
, где f
+
=
1
2
(|f| + f) > 0 и f
−
=
=
1
2
(|f|−f ) > 0. Покажем, что существует интеграл из левой
части (2) и справедливо неравенство (2). Из ограниченности
|J|
−1
на P и существования интеграла в правой части (2) сле-
дует существование интеграла
RR
P
˜
f(u, v) du dv, где
˜
f(u, v) B f [x(u, v), y(u, v)] =
˜
f|J| ·
1
|J|
.
Пусть P
∗
= F (P ),
τ = τ(P ) = {E
i
}
i
τ
1
, τ
∗
= τ
∗
(P
∗
) = {E
∗
i
}
i
τ
1
= {F (E
i
)}
i
τ
i=1
(12)
— разбиения соответственно P и P
∗
. В силу леммы 19.4.1,
примененной к отображению F
−1
, diam E
i
6 K diam E
∗
i
при
некоторой постоянной K, откуда
|τ| 6 K|τ
∗
|. (13)
Пусть, далее, ω(
˜
f, E
i
), ω(f, E
∗
i
) — колебания функций
˜
f, f
соответственно на E
i
, E
∗
i
. Тогда
i
τ
X
i=1
ω(f, E
∗
i
)µE
∗
i
=
i
τ
X
i=1
ω(
˜
f, E
i
)
ZZ
E
i
|J(u, v)|du dv 6
40                     Глава 19. Кратные интегралы

    Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Применим                   (11) к
int Qh . По теореме о среднем для интеграла имеем
                       µF (Qh ) = |J(ũh , ṽ h )| µQh ,
                  Gh 3 (ũh , ṽ h ) → (u0 , v0 ) при h → 0.
Отсюда следует утверждение теоремы 1.
    Теорема 2. Пусть выполнены условия 1◦ , 2◦ , 3◦ теоремы 1
и, кроме того, f ограничена на G∗ , а произведение
          f [x(u, v), y(u, v)]J(u, v) ограничено на G.
   Тогда, если существует один из интегралов в (1), то суще-
ствует и другой, и справедливо равенство (1).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим для определенности
лишь случай, когда существует интеграл из правой части (1).
   Будем считать, что f > 0, так как общий случай функции f
произвольного знака немедленно сводится к этому с помощью
представления f = f+ − f− , где f+ = 12 (|f | + f ) > 0 и f− =
= 21 (|f | − f ) > 0. Покажем, что существует интеграл из левой
части (2) и справедливо неравенство (2). Из ограниченности
|J|−1 на P и существования интеграла     в правой части (2) сле-
                                      ˜
                                  RR
дует существование интеграла P f (u, v) du dv, где
                                                         1
              f˜(u, v) B f [x(u, v), y(u, v)] = f˜|J| ·     .
                                                        |J|
      Пусть P ∗ = F (P ),
 τ = τ (P ) = {Ei }i1τ ,     τ ∗ = τ ∗ (P ∗ ) = {Ei∗ }i1τ = {F (Ei )}ii=1
                                                                       τ
                                                                          (12)
— разбиения соответственно P и P ∗ . В силу леммы 19.4.1,
примененной к отображению F −1 , diam Ei 6 K diam Ei∗ при
некоторой постоянной K, откуда
                                |τ | 6 K|τ ∗ |.              (13)
    Пусть, далее, ω(f˜, Ei ), ω(f, Ei∗ ) — колебания функций f˜, f
соответственно на Ei , Ei∗ . Тогда
Xiτ                iτ
                   X              ZZ
          ∗    ∗           ˜
    ω(f, Ei )µEi =     ω(f , Ei )      |J(u, v)| du dv 6
i=1                    i=1            Ei

Страницы