Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

38 Глава 19. Кратные интегралы
> (1 + ε
0
)[f(x
0
, y
0
) + o(1)][|J(u
0
, v
0
)| + o(1)],
что неверно при f > 0, |J| > 0. Таким образом, неравенство (2)
установлено.
2-й ш а г. Пусть A — (составленное из полуоткрытых ква-
дратов) элементарное множество (см. определение 18.1.2), A ⊂
⊂ G. В силу аддитивности интеграла по множествам интегри-
рования почленным сложением нескольких неравенств вида (2)
получаем, что
ZZ
F (A)
f(x, y) dx dy 6
ZZ
A
f[x(u, v), y(u, v)]|J (u, v)|du dv 6
6
ZZ
G
f[x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)|du dv. (5)
Пусть A
∗
— элементарное множество, причем A
∗
⊂ A
∗
⊂
⊂ G
∗
. Тогда найдется такое (составленное из полуоткрытых
квадратов) элементарное множество A ⊂ A ⊂ G, что
F
−1
(A
∗
) ⊂ A ⊂ G. (6)
В самом деле, множество F
−1
(A
∗
) замкнуто по лемме 19.4.2.
Следовательно,
dist(F
−1
(A
∗
), R
2
\ G) = ρ > 0.
Построим множество A следующим образом. Разобьем R
2
с помощью координатной сетки на полуоткрытые квадраты
(п-квадраты) с диагональю, не превосходящей
ρ
2
и в качестве
A возьмем объединение всех п-квадратов, имеющих непустое
пересечение с F
−1
(A
∗
).
Из (6) и (5) получаем теперь, что A
∗
⊂ A
∗
⊂ F (A),
ZZ
A
∗
f(x, y) dx dy 6
ZZ
G
f[x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)|du dv. (7)
3-й ш а г. Установим неравенство
ZZ
G
∗
f(x, y) dx dy 6
ZZ
G
f[x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)|du dv. (8)
При ∀k ∈ N легко можно построить элементарное множе-
ство A
∗
k
со свойствами
 38                   Глава 19. Кратные интегралы

                       > (1 + ε0 )[f (x0 , y0 ) + o(1)][|J(u0 , v0 )| + o(1)],
 что неверно при f > 0, |J| > 0. Таким образом, неравенство (2)
 установлено.
     2-й ш а г. Пусть A — (составленное из полуоткрытых ква-
 дратов) элементарное множество (см. определение 18.1.2), A ⊂
 ⊂ G. В силу аддитивности интеграла по множествам интегри-
 рования почленным сложением нескольких неравенств вида (2)
 получаем, что
 ZZ                    ZZ
      f (x, y) dx dy 6     f [x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)| du dv 6
                            ZZ
F (A)                  A
                          6      f [x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)| du dv. (5)
                                 G

    Пусть    A∗
              — элементарное множество, причем A∗ ⊂ A∗ ⊂
 ⊂ G∗ . Тогда найдется такое (составленное из полуоткрытых
 квадратов) элементарное множество A ⊂ A ⊂ G, что
                                 −1
                             F        (A∗ ) ⊂ A ⊂ G.                      (6)
 В самом деле, множество F              −1 (A∗ )   замкнуто по лемме 19.4.2.
 Следовательно,
                             −1
                    dist(F        (A∗ ), R2 \ G) = ρ > 0.
     Построим множество A следующим образом. Разобьем R2
 с помощью координатной сетки на полуоткрытые квадраты
 (п-квадраты) с диагональю, не превосходящей ρ2 и в качестве
 A возьмем объединение всех п-квадратов, имеющих непустое
 пересечение с F −1 (A∗ ).
     Из (6) и (5) получаем теперь, что A∗ ⊂ A∗ ⊂ F (A),
     ZZ                   ZZ
         f (x, y) dx dy 6    f [x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)| du dv. (7)
      A∗                     G
      3-й ш а г. Установим неравенство
      ZZ                   ZZ
          f (x, y) dx dy 6    f [x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)| du dv.        (8)
      G∗                     G
    При ∀ k ∈ N легко можно построить элементарное множе-
 ство A∗k со свойствами

Страницы