Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.5. Замена переменных в кратном интеграле 37
и если (1) установлено для f
1
и f
2
, то оно оказывается верным
и для f = f
1
− f
2
.
1-й ш а г. Покажем, что
ZZ
F (Q)
f(x, y) dx dy 6
ZZ
Q
f[x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)|du dv, (2)
где Q = {(u, v): u
1
6 u 6 u
1
+ h
1
, v
1
6 v 6 v
1
+ h
2
} ⊂ G. Рас-
суждая от противного, предположим, что равенство (2) нару-
шено, т. е. при некотором ε
0
> 0
ZZ
F (Q)
f(x, y) dx dy > (1+ε
0
)
ZZ
Q
f[x(u, v), y(u, v)] |J (u, v)|du dv. (3)
Разобьем Q на 4 равных замкнутых квадрата. Обозначим че-
рез Q
(1)
тот из них, для которого (при k = 1)
ZZ
F (Q
(k)
)
f(x, y) dx dy >
> (1 + ε
0
)
ZZ
Q
(k)
F [x(u, v), y(u, v)] |J(u, v)|du dv. (4)
Такой квадрат Q
(1)
существует: предположив противное и сло-
жив 4 неравенства, противоположных неравенству типа (4)
при k = 1, входим в противоречие с (3). Разобьем Q
(1)
на
4 равных замкнутых ква драта и обозначим через Q
(2)
тот из
них, для которого выполняется (с k = 2) неравенство (4). Про-
должая деление, получим систему вложенных прямоугольни-
ков {Q
(k)
}
∞
1
со свойством (4). В силу принципа вложенных от-
резков (таковыми являются проекции Q
(k)
) существует точка
(u
0
, v
0
) ∈ Q
(k)
при всех k. Из (4) в силу теоремы о среднем для
интеграла имеем
f(˜x
k
, ˜y
k
)µF(Q
(k)
) > (1 + ε
0
)f[x(¯u
k
, ¯v
k
), y(¯u
k
, ¯v
k
)]|J(¯u
k
, ¯v
k
)|µQ
(k)
при некоторых (˜x
k
, ˜y
k
) ∈ F (Q
(k)
), (¯u
k
, ¯v
k
) ∈ Q
(k)
.
Оценивая µF (Q
(k)
) с помощью леммы 19.4.3, при k → ∞
имеем
[f(x
0
, y
0
) + o(1)] [|J(u
0
, v
0
)| + o(1)] >
            § 19.5. Замена переменных в кратном интеграле                              37

 и если (1) установлено для f1 и f2 , то оно оказывается верным
 и для f = f1 − f2 .
     1-й ш а г. Покажем, что
     ZZ                   ZZ
         f (x, y) dx dy 6    f [x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)| du dv, (2)
    F (Q)                        Q

 где Q = {(u, v): u1 6 u 6 u1 + h1 , v1 6 v 6 v1 + h2 } ⊂ G. Рас-
 суждая от противного, предположим, что равенство (2) нару-
 шено, т. е. при некотором ε0 > 0
 ZZ                         ZZ
    f (x, y) dx dy > (1+ε0 ) f [x(u, v), y(u, v)] |J(u, v)| du dv. (3)
F (Q)                                Q

 Разобьем Q на 4 равных замкнутых квадрата. Обозначим че-
 рез Q(1) тот из них, для которого (при k = 1)
  ZZ
          f (x, y) dx dy >
                               ZZ
F (Q(k) )          > (1 + ε0 )    F [x(u, v), y(u, v)] |J(u, v)| du dv. (4)
                                Q(k)

 Такой квадрат Q(1) существует: предположив противное и сло-
 жив 4 неравенства, противоположных неравенству типа (4)
 при k = 1, входим в противоречие с (3). Разобьем Q(1) на
 4 равных замкнутых квадрата и обозначим через Q(2) тот из
 них, для которого выполняется (с k = 2) неравенство (4). Про-
 должая деление, получим систему вложенных прямоугольни-
 ков {Q(k) }∞ 1 со свойством (4). В силу принципа вложенных от-
 резков (таковыми являются проекции Q(k) ) существует точка
 (u0 , v0 ) ∈ Q(k) при всех k. Из (4) в силу теоремы о среднем для
 интеграла имеем
 f (x̃k , ỹ k )µF (Q(k) ) > (1 + ε0 )f [x(ūk , v̄k ), y(ūk , v̄k )]|J(ūk , v̄k )|µQ(k)
 при некоторых (x̃k , ỹ k ) ∈ F (Q(k) ), (ūk , v̄k ) ∈ Q(k) .
    Оценивая µF (Q(k) ) с помощью леммы 19.4.3, при k → ∞
 имеем
 [f (x0 , y0 ) + o(1)] [|J(u0 , v0 )| + o(1)] >

Страницы