Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения 35
Д о к а з а т е л ь с т в о. Подчеркнем, что точка (u
0
, v
0
) не-
обязательно является центром Q
h
. Отображение F дифферен-
цируемо, поэтому
F :
x = x
0
+ a
11
(u − u
0
) + a
12
(v − v
0
)+
+ ε
1
(u − u
0
, v − v
0
)
p
(u − u
0
)
2
+ (v − v
0
)
2
,
y = y
0
+ a
21
(u − u
0
) + a
22
(v − v
0
)+
+ ε
2
(u − u
0
, v − v
0
)
p
(u − u
0
)
2
+ (v − v
0
)
2
,
где a
11
= x
0
u
(u
0
, v
0
), a
12
= x
0
v
(u
0
, v
0
), a
21
= y
0
u
(u
0
, v
0
), a
22
=
= y
0
v
(u
0
, v
0
), ε
i
(u − u
0
, v − v
0
) → 0 при (u, v) → (u
0
, v
0
).
Сравним F с линейным отображением
ˆ
F :
(
x = ˆx(u, v) = x
0
+ a
11
(u − u
0
) + a
12
(v − v
0
),
y = ˆy(u, v) = y
0
+ a
21
(u − u
0
) + a
22
(v − v
0
).
Из аналитической геометрии известно, что
µ
ˆ
F (Q
h
)
µQ
h
=
a
11
a
12
a
21
a
22
= |J(u
0
, v
0
)|.
Сравним параллелограмм
ˆ
F (Q
h
) и криволинейный парал-
лелограмм F (Q
h
). Положим
ε(h) B sup
|u−u
0
|6h
|v−v
0
|6h
max{|ε
1
|, |ε
2
|}, ε(h) → 0 при h → 0.
Тогда для (u, v) ∈ Q
h
|x(u, v) − ˆx(u, v)| 6 ε(h)
√
2h, |y(u, v) − ˆy(u, v)| 6 ε(h)
√
2h.
Отсюда, очевидно, следует, что
F (Q
h
) ⊂ U
3ε(h)h
ˆ
F (Q
h
)
. (5)
x
y
0
3
ε
(
h
)
h
3
ε
(
h
)
h
Рис. 19.2
Поэтому
µF (Q
h
) 6 µ
∗
U
3ε(h)h
ˆ
F (Q
h
)
6
6 µ
ˆ
F (Q
h
) + o(h
2
) =
= |J(u
0
, v
0
)|h
2
+ o(h
2
),
и (4) установлено (рис. 19.2).
   § 19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения                  35

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Подчеркнем, что точка (u0 , v0 ) не-
обязательно является центром Qh . Отображение F дифферен-
цируемо, поэтому
       
        x = x0 + a11 (u − u0 ) + a12 (v
       
                                        p
                                          − v0 )+
                  + ε1 (u − u0 , v − v0 ) (u − u0 )2 + (v − v0 )2 ,
       
       
   F :
       
       
         y = y0 + a21 (u − u0 ) + a22 (v − v0 )+
                                        p
                  + ε2 (u − u0 , v − v0 ) (u − u0 )2 + (v − v0 )2 ,
       

где a11 = x0u (u0 , v0 ), a12 = x0v (u0 , v0 ), a21 = yu0 (u0 , v0 ), a22 =
= yv0 (u0 , v0 ), εi (u − u0 , v − v0 ) → 0 при (u, v) → (u0 , v0 ).
   Сравним F с линейным отображением
             (
                 x = x̂(u, v) = x0 + a11 (u − u0 ) + a12 (v − v0 ),
       F̂ :
                 y = ŷ(u, v) = y0 + a21 (u − u0 ) + a22 (v − v0 ).
    Из аналитической геометрии известно, что
                   µF̂ (Qh )   a11 a12
                             =         = |J(u0 , v0 )|.
                     µQh       a21 a22
   Сравним параллелограмм F̂ (Qh ) и криволинейный парал-
лелограмм F (Qh ). Положим
      ε(h) B       sup     max{|ε1 |, |ε2 |},   ε(h) → 0 при h → 0.
               |u−u0 |6h
               |v−v0 |6h

Тогда для (u, v) ∈ Qh
                             √                                         √
  |x(u, v) − x̂(u, v)| 6 ε(h) 2h,           |y(u, v) − ŷ(u, v)| 6 ε(h) 2h.
Отсюда, очевидно, следует, что
                                               
                      F (Qh ) ⊂ U3ε(h)h F̂ (Qh ) .                       (5)
Поэтому                                          y
                                                              3ε(h




                                      
               ∗
µF (Qh ) 6 µ U3ε(h)h           F̂ (Qh ) 6
                                                               )h




         6 µF̂ (Qh ) + o(h2 ) =
               = |J(u0 , v0 )|h2 + o(h2 ),           3ε(h)h
и (4) установлено (рис. 19.2).


                                                 0                       x
                                                         Рис. 19.2

Страницы