Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения 33
3.
◦
если µE = 0, то µF (E) = 0,
4.
◦
если E — измеримо, то F (E) измеримо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы о локальном вза-
имно однозначном соответствии для точек (¯u, ¯v) ∈ G и
(¯x, ¯y) = F (¯u, ¯v) существуют их окрестности, находящиеся во
взаимно однозначном соответствии, причем эти окрестности
можно брать сколь угодно малыми по диаме тру. Следова-
тельно, точки (¯u, ¯v) и (¯x, ¯y) лишь одновременно могут являться
внутренними, или граничными, или предельными точками со-
ответственно для E и F (E). Отсюда следует утверждение 1
◦
леммы и замкнутость множес тва F(Q). Ограниченность F(Q)
следует из теоремы Вейерштрасса об ограниченности непре-
рывной функции, примененной к x(u, v), y(u, v). Заметим, что
∂F(Q) = F(∂Q) сос тоит из четырех гладких кривых. Поэтому
µ∂F (Q) = 0. В силу критерия измеримости F (Q) измеримо и
свойство 2
◦
установлено.
Свойства 3
◦
и 4
◦
будут использованы лишь при доказатель-
стве теоремы 19.5.2.
Установим свойство 3
◦
. Покажем, что µF (E) = 0.
Пусть ρ > 0 такое число, что U
ρ
(E) ⊂ G. В качестве ρ
можно взять ρ = 1, если G = R
2
, и ρ =
1
2
dist{E, R
2
\ G},
если G 6= R
2
. В последнем случае ρ > 0 в силу положительно-
сти расстояния между двумя замкнутыми непересекающимися
множествами E и R
2
\ G.
Пусть ε > 0, B
ε
=
m
P
1
P
k
— элементарное множество, B
ε
⊃
⊃ E, µB
ε
< ε. П-прямоугольник (a, b] × (c, d] будем называть
регулярным, если
1
2
(b − a) 6 d − c 6 2(b − a).
Можно считать, что в представлении B
ε
=
m
P
1
P
k
все пря-
моугольники P
k
регулярны и diam P
k
6 ρ (если это не так с
самого начала, то каждый из P
k
можно разбить на регулярные
  § 19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения      33

   3.◦ если µE = 0, то µF (E) = 0,
   4.◦ если E — измеримо, то F (E) измеримо.

      Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы о локальном вза-
имно однозначном соответствии для точек (ū, v̄) ∈ G и
(x̄, ȳ) = F (ū, v̄) существуют их окрестности, находящиеся во
взаимно однозначном соответствии, причем эти окрестности
можно брать сколь угодно малыми по диаметру. Следова-
тельно, точки (ū, v̄) и (x̄, ȳ) лишь одновременно могут являться
внутренними, или граничными, или предельными точками со-
ответственно для E и F (E). Отсюда следует утверждение 1◦
леммы и замкнутость множества F (Q). Ограниченность F (Q)
следует из теоремы Вейерштрасса об ограниченности непре-
рывной функции, примененной к x(u, v), y(u, v). Заметим, что
∂F (Q) = F (∂Q) состоит из четырех гладких кривых. Поэтому
µ∂F (Q) = 0. В силу критерия измеримости F (Q) измеримо и
свойство 2◦ установлено.
      Свойства 3◦ и 4◦ будут использованы лишь при доказатель-
стве теоремы 19.5.2.
      Установим свойство 3◦ . Покажем, что µF (E) = 0.
      Пусть ρ > 0 такое число, что Uρ (E) ⊂ G. В качестве ρ
можно взять ρ = 1, если G = R2 , и ρ = 12 dist{E, R2 \ G},
если G 6= R2 . В последнем случае ρ > 0 в силу положительно-
сти расстояния между двумя замкнутыми непересекающимися
множествами E и R2 \ G.
                       m
                       P
   Пусть ε > 0, Bε =     Pk — элементарное множество, Bε ⊃
                        1
⊃ E, µBε < ε. П-прямоугольник (a, b] × (c, d] будем называть
регулярным, если
                  1
                    (b − a) 6 d − c 6 2(b − a).
                  2
                                                   m
                                                   P
   Можно считать, что в представлении Bε =             Pk все пря-
                                                   1
моугольники Pk регулярны и diam Pk 6 ρ (если это не так с
самого начала, то каждый из Pk можно разбить на регулярные

Страницы