Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

34 Глава 19. Кратные интегралы
п-прямоугольники с диаметром, не превосходящим ρ, и отбро-
сить те из них, которые не пересекаются с E). Тогда
B
ε
⊂ U
ρ
(E) ⊂ G.
Пусть κ = max
U
ρ
(E)
max {|x
0
u
|, |x
0
v
|, |y
0
u
|, |y
0
v
|}.
В силу (2) образ каждого из п-прямоугольников P
k
с длиной
меньшей стороны h
k
содержится в квадрате 2
√
5κh
k
, так что
µ
∗
F P
k
6 100κ
2
µP
k
,
откуда в силу монотонности и полуаддитивности верхней
меры
µ
∗
F E 6 µ
∗
F B
ε
6 100κ
2
µB
ε
6 100κ
2
ε.
В силу произвольности ε > 0
µF E = µ
∗
F E = 0.
Свойство 4
◦
следует из ограниченности F (E) ⊂ F (E), вы-
текающей из теоремы Вейерштрасса, свойств 1
◦
, 3
◦
и критерия
измеримости.
Теорема 1 (геометрический смысл модуля якобиана
отображения). Пусть (u
0
, v
0
) ∈ G, h
0
> 0,
G ⊃ Q
h
B
B {(u, v) : u
h
6 u 6 u
h
+ h, v
h
6 v 6 v
h
+ h} 3 (u
0
, v
0
)
при всех h, 0 < h 6 h
0
.
Тогда
lim
h→0+0
µF (Q
h
)
µQ
h
= |J(u
0
, v
0
)|. (3)
Доказательство будет дано ниже в виде следствия из тео-
ремы 19.5.1 о замене переменных в интеграле. В конце §19.5
будет приведено обобщение теоремы 1 на n-мерный случай.
Частичное выяснение геометрического смысла модуля якоби-
ана отображения (оценку сверху левой части (3))доставляет
Лемма 3. В условиях теоремы 1 при h → 0
µF (Q
h
) 6 |J(u
0
, v
0
)|µQ
h
+ o(h
2
). (4)
34                     Глава 19. Кратные интегралы

п-прямоугольники с диаметром, не превосходящим ρ, и отбро-
сить те из них, которые не пересекаются с E). Тогда
                             Bε ⊂ Uρ (E) ⊂ G.
     Пусть κ = max max {|x0u |, |x0v |, |yu0 |, |yv0 |}.
                  Uρ (E)
   В силу (2) образ каждого из п-прямоугольников
                                            √ Pk с длиной
меньшей стороны hk содержится в квадрате 2 5κhk , так что
                           µ∗ F Pk 6 100κ 2 µPk ,
откуда в силу монотонности и полуаддитивности верхней
меры
           µ∗ F E 6 µ∗ F Bε 6 100κ 2 µBε 6 100κ 2 ε.
   В силу произвольности ε > 0
                           µF E = µ∗ F E = 0.
   Свойство 4◦ следует из ограниченности F (E) ⊂ F (E), вы-
текающей из теоремы Вейерштрасса, свойств 1◦ , 3◦ и критерия
измеримости.
   Теорема 1 (геометрический смысл модуля якобиана
отображения). Пусть (u0 , v0 ) ∈ G, h0 > 0,
G ⊃ Qh B
           B {(u, v) : uh 6 u 6 uh + h, vh 6 v 6 vh + h} 3 (u0 , v0 )
при всех h, 0 < h 6 h0 .
   Тогда
                            µF (Qh )
                       lim           = |J(u0 , v0 )|.            (3)
                      h→0+0  µQh

   Доказательство будет дано ниже в виде следствия из тео-
ремы 19.5.1 о замене переменных в интеграле. В конце § 19.5
будет приведено обобщение теоремы 1 на n-мерный случай.
Частичное выяснение геометрического смысла модуля якоби-
ана отображения (оценку сверху левой части (3))доставляет
     Лемма 3. В условиях теоремы 1 при h → 0
                   µF (Qh ) 6 |J(u0 , v0 )|µQh + o(h2 ).         (4)

Страницы