Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

32 Глава 19. Кратные интегралы
открытого множества G двумерного евклидова пространства
R
2
uv
на открытое множество G
∗
евклидова пространства R
2
xy
:
R
2
uv
⊃
G
откр.
F
G
∗
откр.
⊂ R
2
xy
со свойствами:
1.
◦
F взаимно однозначно отображает G на G
∗
,
2.
◦
F непрерывно дифференцируемо на G,
3.
◦
J(u, v) B
∂(x, y)
∂(u, v)
6= 0 на G.
Лемма 1.
1
Пусть E — отрезок с концами в точках (u
1
, v
1
),
(u
2
, v
2
), E ∈ G,
max
E
max
|x
0
u
|, |x
0
v
|, |y
0
u
|, |y
0
v
|
6 κ.
Тогда
|F (u
2
, v
2
) − F (u
1
, v
1
)| 6 2κ|(u
2
, v
2
) − (u
1
, v
1
)| =
= 2κ
p
(u
2
− u
1
)
2
+ (v
2
− v
1
)
2
. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (x
i
, y
i
) = F (u
i
, v
i
), i = 1, 2.
Тогда в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях
|x
2
− x
1
| = |x [u
1
+ t(u
2
− u
1
), v
1
+ t(v
2
− v
1
)]|
1
t=0
| =
=
x
0
u
(˜u, ˜v)(u
2
− u
1
) + x
0
v
(˜u, ˜v)(v
2
− v
1
)
6
6
√
2κ
p
(u
2
− u
1
)
2
+ (v
2
− v
1
)
2
.
Аналогично
|y
2
− y
1
| 6
√
2κ
p
(u
2
− u
1
)
2
+ (v
2
− v
1
)
2
.
Из двух последних оценок следует (2).
Лемма 2. Пусть ограниченное множество E ⊂ E ⊂ G,
Q B {(u, v) : u
0
6 u 6 u
0
+ h, v
0
6 v 6 v
0
+ h} ⊂ G.
Тогда:
1.
◦
∂F (E) = F (∂E),
2.
◦
F (Q) — замкнутое измеримое множество,
1
Используется лишь при доказательстве необязательной тео-
ремы 19.5.2.
32                         Глава 19. Кратные интегралы

открытого множества G двумерного евклидова пространства
R2uv на открытое множество G∗ евклидова пространства R2xy :
                                               F
                            R2uv ⊃ G  G∗ ⊂ R2xy
                                      откр.         откр.
со свойствами:
    1.◦ F взаимно однозначно отображает G на G∗ ,
    2.◦ F непрерывно дифференцируемо на G,
                          ∂(x, y)
         3.◦ J(u, v) B ∂(u, v) 6= 0 на G.

     Лемма 1.1 Пусть E — отрезок с концами в точках (u1 , v1 ),
(u2 , v2 ), E ∈ G,
                 max max |x0u |, |x0v |, |yu0 |, |yv0 | 6 κ.
                        
                      E
         Тогда
|F (u2 , v2 ) − F (u1 , v1 )| 6 2κ|(u2 , v2 ) − (u1 , v1 )| =
                                          p
                                  = 2κ (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 . (2)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (xi , yi ) = F (ui , vi ), i = 1, 2.
Тогда в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях
|x2 − x1 | = |x [u1 + t(u2 − u1 ),                 v1 + t(v2 − v1 )]|1t=0 | =
                 = x0u (ũ, ṽ)(u2 − u1 ) + x0v (ũ, ṽ)(v2 − v1 ) 6
                                             √ p
                                          6 2κ (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 .
         Аналогично
                                 √        p
                 |y2 − y1 | 6        2κ    (u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 .
         Из двух последних оценок следует (2).
         Лемма 2. Пусть ограниченное множество E ⊂ E ⊂ G,
          Q B {(u, v) : u0 6 u 6 u0 + h,                v0 6 v 6 v0 + h} ⊂ G.
         Тогда:
         1.◦ ∂F (E) = F (∂E),
         2.◦ F (Q) — замкнутое измеримое множество,
     1
   Используется           лишь      при       доказательстве     необязательной   тео-
ремы 19.5.2.

Страницы