Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения 31
Следствие 1. Пусть функция f непрерывна на элементар-
ной относительно оси Oy области Ω (4). Тогда справедливо
равенство (5).
З а м е ч а н и е. Пусть Ω (4) является элементарной не
только относительно оси Oy, но и относительно оси Ox, т. е.
наряду с описанием (4) имеет место еще и описание
Ω = {(x, y) : c 6 y 6 d, α(y) 6 x 6 β(y)}.
Тогда для непрерывной на Ω функции f справедливо равенство
Z
b
a
Z
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y) dy dx =
Z
d
c
Z
β(y)
α(y)
f(x, y) dx dy, (6)
выражающее собой правило перемены порядка интегрирова-
ния в повторных интегралах.
Теорема 2 и следствие из нее могут быть распространены
на n-кратные интегралы.
Определение 2. Множество
Ω = {x = (x
1
, . . . , x
n
) = (x
0
, x
n
) : x
0
∈ E,
ϕ(x
0
) 6 x
n
6 ψ(x
0
)},
где E ⊂ R
n−1
— измеримое замкнутое множество, а функции ϕ,
ψ непрерывны на E, называется элементарной относительно
оси Ox
n
областью.
Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на элементарной
относительно оси Ox
n
области Ω. Тогда
Z
Ω
f(x) dx =
Z
E
Z
ψ(x
0
)
ϕ(x
0
)
f(x
0
, x
n
) dx
n
dx
0
.
§ 19.4. Геометрический смысл модуля якобиана
отображения
В этом параграфе изучается отображение
F :
(
x = x(u, v),
y = y(u, v)
(1)
  § 19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения          31

   Следствие 1. Пусть функция f непрерывна на элементар-
ной относительно оси Oy области Ω (4). Тогда справедливо
равенство (5).
   З а м е ч а н и е. Пусть Ω (4) является элементарной не
только относительно оси Oy, но и относительно оси Ox, т. е.
наряду с описанием (4) имеет место еще и описание
          Ω = {(x, y) : c 6 y 6 d,              α(y) 6 x 6 β(y)}.
Тогда для непрерывной на Ω функции f справедливо равенство
       Z b Z ψ(x)                  Z d Z β(y)
                  f (x, y) dy dx =            f (x, y) dx dy, (6)
         a     ϕ(x)                         c    α(y)
выражающее собой правило перемены порядка интегрирова-
ния в повторных интегралах.
   Теорема 2 и следствие из нее могут быть распространены
на n-кратные интегралы.
   Определение 2. Множество
             Ω = {x = (x1 , . . . , xn ) = (x0 , xn ) : x0 ∈ E,
                         ϕ(x0 ) 6 xn 6 ψ(x0 )},
где E ⊂ Rn−1 — измеримое замкнутое множество, а функции ϕ,
ψ непрерывны на E, называется элементарной относительно
оси Oxn областью.
   Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на элементарной
относительно оси Oxn области Ω. Тогда
           Z             Z Z ψ(x0 )
              f (x) dx =            f (x0 , xn ) dxn dx0 .
                Ω              E   ϕ(x0 )



  § 19.4. Геометрический смысл модуля якобиана
                   отображения
   В этом параграфе изучается отображение
                        (
                         x = x(u, v),
                   F :                                              (1)
                         y = y(u, v)

Страницы