Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.3. Сведение кратного интеграла к повторному 29
Положив в последнем двустороннем неравенстве y = η
j
, домно-
жив все его части на ∆y
j
и просуммировав по j, получаем
m
X
j=1
k
X
i=1
m
ij
∆x
i
∆y
j
6
m
X
j=1
F (η
j
)∆y
j
6
m
X
j=1
k
X
i=1
M
ij
∆x
i
∆y
j
. (2)
Левая и правая части неравенства (2) представляют собой со-
ответственно нижнюю и верхнюю интегральные суммы Дарбу
функции f (т. е. S
τ
(f) и S
τ
(f)). При |τ| → 0 каждая из них
стремится к
RR
P
f(x, y) dx dy (см. следствие из теоремы 19.1.3).
Следовательно, средняя часть неравенства (2), представляю-
щая собой интегральную сумму Римана S
τ
2
(F ), имеет пре-
дел при |τ
2
| → 0, являющийся по определению интегралом
R
d
c
F (y) dy =
R
d
c
R
b
a
f(x, y) dx
dy. Предельным переходом в
неравенстве (2) получаем (1).
З а м е ч а н и е. Простой заменой обозначения пере-
менных в теореме 1 получаем следующее утверждение.
Теорема 1
0
. Пусть функция f интегрируема по прямо-
угольнику P = [a, b]×[c, d] ⊂ R
2
и интеграл F (x) =
R
d
c
f(x, y) dy
существует для каждого x ∈ [a, b].
Тогда F интегрируема по отрезку [a, b] и справедливо ра-
венство
ZZ
P
f(x, y) dx dy =
Z
b
a
Z
d
c
f(x, y) dy
dx. (3)
Если выполнены условия как теоремы 1, так и теоремы 1
0
,
то
ZZ
P
f(x, y) dx dy =
Z
d
c
Z
b
a
f(x, y) dx dy =
Z
b
a
Z
d
c
f(x, y) dy dx.
Последняя формула справедлива, в частности, если функция f
непрерывна на P .
Распространим результаты теорем 1, 1
0
, полученные для
прямоугольника P на области, которые назовем элементар-
ными.
Определение 1. Множество
Ω = {(x, y) : a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)} ⊂ R
2
, (4)
        § 19.3. Сведение кратного интеграла к повторному                               29

Положив в последнем двустороннем неравенстве y = ηj , домно-
жив все его части на ∆yj и просуммировав по j, получаем
  X k
  m X                           m
                                X                     m X
                                                      X k
            mij ∆xi ∆yj 6             F (ηj )∆yj 6               Mij ∆xi ∆yj .        (2)
  j=1 i=1                       j=1                   j=1 i=1

Левая и правая части неравенства (2) представляют собой со-
ответственно нижнюю и верхнюю интегральные суммы Дарбу
функции f (т.RRе. Sτ (f ) и Sτ (f )). При |τ | → 0 каждая из них
стремится к P f (x, y) dx dy (см. следствие из теоремы 19.1.3).
Следовательно, средняя часть неравенства (2), представляю-
щая собой интегральную сумму Римана Sτ2 (F ), имеет пре-
дел при |τ2 | → 0, являющийся    по определению интегралом
Rd            Rd Rb
 c F (y) dy = c    a f (x, y) dx dy. Предельным переходом в
неравенстве (2) получаем (1).
   З а м е ч а н и е. Простой заменой обозначения пере-
менных в теореме 1 получаем следующее утверждение.
   Теорема 10 . Пусть функция f интегрируемаR по прямо-
                                                      d
угольнику P = [a, b]×[c, d] ⊂ R2 и интеграл F (x) = c f (x, y) dy
существует для каждого x ∈ [a, b].
   Тогда F интегрируема по отрезку [a, b] и справедливо ра-
венство Z Z                   Z b Z d            
             f (x, y) dx dy =          f (x, y) dy dx.        (3)
               P                            a     c
   Если выполнены условия как теоремы 1, так и теоремы 10 ,
тоZ Z                      Z dZ      b                      Z bZ     d
        f (x, y) dx dy =                 f (x, y) dx dy =                f (x, y) dy dx.
    P                       c    a                           a   c
Последняя формула справедлива, в частности, если функция f
непрерывна на P .
   Распространим результаты теорем 1, 10 , полученные для
прямоугольника P на области, которые назовем элементар-
ными.
   Определение 1. Множество
        Ω = {(x, y) : a 6 x 6 b,                ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)} ⊂ R2 ,               (4)

Страницы