Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 Глава 19. Кратные интегралы
Если при этом E — область или замкнутая область, а функция
f непрерывна на E, то
∃c ∈ E :
Z
E
f(x)g(x) dx = f(c)
Z
E
g(x) dx.
В частности, при g ≡ 1
Z
E
f(x) dx = f(c)µE.
Д о к а з а т е л ь с т в о основано на использовании свой-
ства 8
◦
, теоремы Коши 10.5.4 о промежуточных значениях и
следствия из нее.
§ 19.3. Сведение кратного интеграла к повторному
Теорема 1. Пусть функция f интегрируема по прямо-
угольнику P = [a, b]×[c, d] ⊂ R
2
и интеграл F (y) =
R
b
a
f(x, y) dx
существует для каждого y ∈ [c, d].
Тогда F интегрируема по отрезку [c, d] и справедливо ра-
венство
ZZ
P
f(x, y) dx dy =
Z
d
c
Z
b
a
f(x, y) dx
dy. (1)
Правая часть равенства (1) называется повторным инте-
гралом.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a = x
0
< x
1
< . . . < x
k
= b,
c = y
0
< y
1
< . . . < y
m
= d, τ
1
= {[x
i−1
, x
i
]}
k
1
, τ
2
= {[y
j−1
, y
j
]}
m
1
— разбиения отрезков соответственно [a, b] и [c, d] на отрезки.
Тогда τ = {[x
i−1
, x
i
] × [y
j−1
, y
j
]}
16i6k
16j6m
— разбиение P на пря-
моугольники.
Введем обозначения
m
i
(y) = inf
x∈[x
i−1
,x
i
]
f(x, y), M
i
(y) = sup
y∈[y
j−1
,y
j
]
f(x, y),
m
ij
= inf
[x
i−1
,x
i
]×[y
j−1
,y
j
]
f, M
ij
= sup
[x
i−1
,x
i
]×[y
j−1
,y
j
]
f,
η
j
∈ [y
j−1
, y
j
].
Тогда
k
X
i=1
m
i
(y)∆x
i
6
Z
b
a
f(x, y) dx = F (y) 6
k
X
i=1
M
i
(y)∆x
i
.
28                      Глава 19. Кратные интегралы

Если при этом E — область или замкнутая область, а функция
f непрерывна на E, то
                   Z                       Z
          ∃c ∈ E :    f (x)g(x) dx = f (c)   g(x) dx.
                              E                                    E
В частности, при g ≡ 1
                    Z
                                        f (x) dx = f (c)µE.
                                E
   Д о к а з а т е л ь с т в о основано на использовании свой-
ства 8◦ , теоремы Коши 10.5.4 о промежуточных значениях и
следствия из нее.

§ 19.3. Сведение кратного интеграла к повторному
   Теорема 1. Пусть функция f интегрируемаR по прямо-
                                                      b
угольнику P = [a, b]×[c, d] ⊂ R2 и интеграл F (y) = a f (x, y) dx
существует для каждого y ∈ [c, d].
   Тогда F интегрируема по отрезку [c, d] и справедливо ра-
венство
         ZZ                   Z d Z b            
             f (x, y) dx dy =          f (x, y) dx dy.        (1)
                P                                c      a
   Правая часть равенства (1) называется повторным инте-
гралом.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a = x0 < x1 < . . . < xk = b,
c = y0 < y1 < . . . < ym = d, τ1 = {[xi−1 , xi ]}k1 , τ2 = {[yj−1 , yj ]}m
                                                                         1
— разбиения отрезков соответственно [a, b] и [c, d] на отрезки.
Тогда τ = {[xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ]} 16i6k — разбиение P на пря-
                                       16j6m
моугольники.
   Введем обозначения
      mi (y) =        inf         f (x, y),          Mi (y) =       sup         f (x, y),
                 x∈[xi−1 ,xi ]                                  y∈[yj−1 ,yj ]

        mij =             inf               f,       Mij =             sup             f,
                 [xi−1 ,xi ]×[yj−1 ,yj ]                     [xi−1 ,xi ]×[yj−1 ,yj ]

                                        ηj ∈ [yj−1 , yj ].
Тогда k                                                             k
    X                       Z       b                               X
            mi (y)∆xi 6                 f (x, y) dx = F (y) 6              Mi (y)∆xi .
      i=1                       a                                    i=1

Страницы