Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.2. Свойства кратного интеграла 27
8
◦
. (Интегрирование неравенств). Если функции f, g ин-
тегрируемы на E и f 6 g на E, то
Z
E
f(x) dx 6
Z
E
g(x) dx.
9
◦
. (Полная (счетная) аддитивность интеграла по мно-
жествам). Пусть функция f интегрируема и ограничена на
множестве E, а {E
k
}
∞
1
— последовательность измеримых мно-
жеств E
k
⊂ E со свойством
lim
k→∞
µE
k
= µE.
Тогда lim
k→∞
R
E
k
f(x) dx =
R
E
f(x) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из оценки
Z
E
f(x) dx −
Z
E
k
f(x) dx
=
Z
E\E
k
f(x) dx
6 sup
E
|f|µ(E \ E
k
).
10
◦
. Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на
открытом множестве G 3 x
(0)
. Пусть f непрерывна в точке
x
(0)
и f(x
(0)
) > 0. Тогда
R
G
f(x) dx > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности f в точке
x
(0)
существует окрестность U
δ
(x
(0)
) ⊂ G такая, что
f(x) >
f(x
(0)
)
2
∀x ∈ U(x
(0)
).
Следовательно,
Z
G
f(x) dx =
Z
G\U(x
(0)
)
f(x) dx +
Z
U(x
(0)
)
f(x) dx >
f(x
(0)
)
2
µU
δ
(x
(0)
) > 0.
11
◦
. (Теорема о среднем). Пусть функции f , g интегриру-
емы и ограничены на множестве E. Если функция g не меняет
знака на E и m 6 f 6 M на E, то существует такое число λ,
что
Z
E
f(x)g(x) dx = λ
Z
E
g(x) dx.
                  § 19.2. Свойства кратного интеграла               27

   8◦ . (Интегрирование неравенств). Если функции f , g ин-
тегрируемы на E и f 6 g на E, то
                   Z            Z
                     f (x) dx 6   g(x) dx.
                           E                    E

   9◦ . (Полная (счетная) аддитивность интеграла по мно-
жествам). Пусть функция f интегрируема и ограничена на
множестве E, а {Ek }∞
                    1 — последовательность измеримых мно-
жеств Ek ⊂ E со свойством
                               lim µEk = µE.
                               k→∞
              R                 R
Тогда lim          f (x) dx =           f (x) dx.
         k→∞ Ek                     E
     Д о к а з а т е л ь с т в о следует из оценки
    Z             Z               Z
       f (x) dx −     f (x) dx =       f (x) dx 6 sup |f |µ(E \ Ek ).
     E              Ek                     E\Ek                E

    10◦ . Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на
открытом множестве G 3          x(0) . Пусть f непрерывна в точке
x(0) и f (x(0) ) > 0. Тогда G f (x) dx > 0.
                             R

    Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности f в точке
x(0) существует окрестность Uδ (x(0) ) ⊂ G такая, что
                               f (x(0) )
                    f (x) >                     ∀ x ∈ U (x(0) ).
                                  2
   Следовательно,
                                        f (x(0) )
Z            Z             Z
  f (x) dx =    f (x) dx +   f (x) dx >           µUδ (x(0) ) > 0.
                                           2
G            G\U (x(0) )            U (x(0) )

   11◦ . (Теорема о среднем). Пусть функции f , g интегриру-
емы и ограничены на множестве E. Если функция g не меняет
знака на E и m 6 f 6 M на E, то существует такое число λ,
что             Z                    Z
                    f (x)g(x) dx = λ   g(x) dx.
                      E                             E

Страницы