Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.2. Свойства кратного интеграла 25
при |τ
∗
| → 0. В силу критерия интегрируемости f интегриру-
ема на E
∗
.
3
◦
. (Аддитивность интеграла по множествам). Пусть из-
меримые множества F , G ⊂ R
n
, F ∩G = ∅, E = F ∪ G. Пусть
f: E → R ограничена и интегрируема на F и на G. Тогда f
интегрируема на E и
Z
E
f(x) dx =
Z
F
f(x) dx +
Z
G
f(x) dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть τ = {E
i
}, τ
0
— множество
тех E
i
∈ τ, для которых E
i
∩ F 6= ∅, E
i
∩ G 6= ∅,
τ(F ) = {E
i
∩ F : E
i
∈ τ, E
i
∩ F 6= ∅},
τ(G) = {E
i
∩ G : E
i
∈ τ, E
i
∩ G 6= ∅}.
Пусть S
τ
(f) =
P
f(x
(i)
)µE
i
— произвольная интегральная
сумма Римана для функции f и разбиения τ множества E с
отмеченными точками x
(i)
, i = 1, . . . , i
τ
. Пусть S
τ(F )
(f),
S
τ(G)
(f) — интегральные суммы для сужений функции f со-
ответственно на множества F и G, построенные по разбиениям
τ(F ) и τ (G) и (по возможности) по тем же отмеченным точ-
кам, что и S
τ
(f). Тогда, считая, что |f(x)| 6 M при x ∈ E,
имеем
S
τ
(f) − S
τ(F )
(f) − S
τ(G)
(f)
6 2M
X
E
i
∈τ
0
µE
i
. (1)
Заметим, что если E
i
∈ τ
0
, то
E
i
⊂ U
2|τ|
(∂F ). (2)
В самом деле, пусть x ∈ E
i
∩ F , y ∈ E
i
∩ G. Тогда на отрезке,
соединяющем точки x и y, по лемме 18.2.1 найдется точка z ∈
∈ ∂F . Тогда |x − z| 6 |x − y| 6 |τ |.
Поскольку µ∂F = 0 в силу критерия измеримости, из (2) и
леммы 18.2.3 следует, что правая часть (1) стремится к нулю
при |τ | → 0. Тогда и левая часть (1) стремится к нулю. По-
скольку в ней
S
τ(F )
(f) →
Z
F
f(x) dx, S
τ(G)
(f) →
Z
G
f(x) dx,
              § 19.2. Свойства кратного интеграла              25

при |τ ∗ | → 0. В силу критерия интегрируемости f интегриру-
ема на E ∗ .
    3◦ . (Аддитивность интеграла по множествам). Пусть из-
меримые множества F , G ⊂ Rn , F ∩ G = ∅, E = F ∪ G. Пусть
f : E → R ограничена и интегрируема на F и на G. Тогда f
интегрируема на E и
               Z             Z            Z
                  f (x) dx =   f (x) dx +   f (x) dx.
               E             F                G
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть τ = {Ei }, τ0 — множество
тех Ei ∈ τ , для которых Ei ∩ F 6= ∅, Ei ∩ G 6= ∅,
            τ (F ) = {Ei ∩ F : Ei ∈ τ, Ei ∩ F 6= ∅},
              τ (G) = {Ei ∩ G : Ei ∈ τ, Ei ∩ G 6= ∅}.
                        f (x(i) )µEi — произвольная интегральная
                     P
Пусть Sτ (f ) =
сумма Римана для функции f и разбиения τ множества E с
отмеченными точками x(i) , i = 1, . . . , iτ . Пусть Sτ (F ) (f ),
Sτ (G) (f ) — интегральные суммы для сужений функции f со-
ответственно на множества F и G, построенные по разбиениям
τ (F ) и τ (G) и (по возможности) по тем же отмеченным точ-
кам, что и Sτ (f ). Тогда, считая, что |f (x)| 6 M при x ∈ E,
имеем
                                                      X
            Sτ (f ) − Sτ (F ) (f ) − Sτ (G) (f ) 6 2M   µEi . (1)
                                                  Ei ∈τ0

   Заметим, что если Ei ∈ τ0 , то
                         Ei ⊂ U2|τ | (∂F ).                    (2)
В самом деле, пусть x ∈ Ei ∩ F , y ∈ Ei ∩ G. Тогда на отрезке,
соединяющем точки x и y, по лемме 18.2.1 найдется точка z ∈
∈ ∂F . Тогда |x − z| 6 |x − y| 6 |τ |.
   Поскольку µ∂F = 0 в силу критерия измеримости, из (2) и
леммы 18.2.3 следует, что правая часть (1) стремится к нулю
при |τ | → 0. Тогда и левая часть (1) стремится к нулю. По-
скольку в ней
                        Z                         Z
         Sτ (F ) (f ) →   f (x) dx, Sτ (G) (f ) →   f (x) dx,
                     F                             G

Страницы