Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24 Глава 19. Кратные интегралы
Теорема 4. Пусть функция f непрерывна на измеримом
компакте E ⊂ R
n
. Тогда f интегрируема на E.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f в силу теорем Вейер-
штрасса и Кантора ограничена и равномерно непрерывна на
E. Тогда ее модуль непрерывности на E w(δ, f) → 0 при δ →
→ 0. Следовательно,
i
τ
X
i=1
w
i
(f)µE
i
6
i
τ
X
i=1
w(|τ|, f )µE
i
= w(|τ|, f )µE → 0 при |τ | → 0.
В силу критерия интегрируемости f интегрируема на E.
Упражнение 2. Обобщить теорему 3 на случай ограни-
ченных на измеримом компакте функций и непрерывных почти
в каждой точке компакта (т. е. в каждой точке компакта, за
исключением, быть може т, точек множества меры нуль).
У к а з а н и е. Воспользоваться леммой 18.2.3.
Показать, что функция, непрерывная и ограниченная на
открытом измеримом множестве, интегрируема на нем.
§ 19.2. Свойства кратного интеграла
1
◦
. Пусть E — измеримое множество. Тогда
Z
E
dx B
Z
E
1 dx = µE.
2
◦
. Пусть E и E
∗
— измеримые множества, E
∗
⊂ E, и
функция f интегрируема на E. Тогда она интегрируема и на
E
∗
. Пусть τ
∗
= {E
i
}
i
τ
∗
1
— разбиение множества E мелкости
|τ
∗
|. Дополним его до разбиения τ = {E
i
}
i
τ
1
множества E мел-
кости |τ | = |τ
∗
|. Это можно сделать, присоединив к {E
i
}
i
τ
∗
1
все
элементы разбиения множества E \ E
∗
не превосходящей |τ
∗
|
мелкости. Тогда
X
16i6i
τ
∗
µE
i
>0
w
i
(f)µE
i
6
X
16i6i
τ
µE
i
>0
w
i
(f)µE
i
.
В силу интегрируемости f на E и критерия интегрируе-
мости правая часть последнего неравенства стремится к нулю
при |τ | → 0. Следовательно, и левая часть стремится к нулю
24                     Глава 19. Кратные интегралы

   Теорема 4. Пусть функция f непрерывна на измеримом
компакте E ⊂ Rn . Тогда f интегрируема на E.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f в силу теорем Вейер-
штрасса и Кантора ограничена и равномерно непрерывна на
E. Тогда ее модуль непрерывности на E w(δ, f ) → 0 при δ →
→ 0. Следовательно,
iτ
X                    iτ
                     X
      wi (f )µEi 6         w(|τ |, f )µEi = w(|τ |, f )µE → 0 при |τ | → 0.
i=1                  i=1
   В силу критерия интегрируемости f интегрируема на E.
   Упражнение 2. Обобщить теорему 3 на случай ограни-
ченных на измеримом компакте функций и непрерывных почти
в каждой точке компакта (т. е. в каждой точке компакта, за
исключением, быть может, точек множества меры нуль).
   У к а з а н и е. Воспользоваться леммой 18.2.3.
   Показать, что функция, непрерывная и ограниченная на
открытом измеримом множестве, интегрируема на нем.

             § 19.2. Свойства кратного интеграла
     1◦ .   Пусть E — измеримое множество. Тогда
                       Z       Z
                          dx B   1 dx = µE.
                             E         E
     2◦ . Пусть E и        E ∗
                             — измеримые множества, E ∗ ⊂ E, и
функция f интегрируема на E. Тогда она интегрируема и на
                          i ∗
E ∗ . Пусть τ ∗ = {Ei }1τ — разбиение множества E мелкости
|τ ∗ |. Дополним его до разбиения τ = {Ei }i1τ множества E мел-
                                                           i ∗
кости |τ | = |τ ∗ |. Это можно сделать, присоединив к {Ei }1τ все
элементы разбиения множества E \ E ∗ не превосходящей |τ ∗ |
мелкости. Тогда
                    X                 X
                         wi (f )µEi 6    wi (f )µEi .
                  16i6iτ ∗                 16i6iτ
                   µEi >0                  µEi >0

   В силу интегрируемости f на E и критерия интегрируе-
мости правая часть последнего неравенства стремится к нулю
при |τ | → 0. Следовательно, и левая часть стремится к нулю

Страницы