Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.1. Кратный интеграл и критерий интегрируемости 23
Следствие 1. Пусть ограниченная функция f интегриру-
ема на множестве E ⊂ R
n
. Тогда
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : 0 6
Z
E
f(x) dx − S
τ
(f) < ε,
0 6 S
τ
−
Z
E
f(x) dx < ε ∀τ : |τ| < δ.
Покажем, что функция, интегрируемая на отрезке [a, b] в
смысле определения 14.1.2, интегрируема на этом отрезке и
в смысле определения 4 (n = 1, E = [a, b]), так что эти два
различных определения интегрируемости на отрезке эквива-
лентны.
Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b] в смысле
определения 14.1.2. Тогда она ограничена (по теореме 14.1.1)
и в силу критерия интегрируемости 14.2.1 для заданного ε > 0
существует разбиение {[x
j−1
, x
j
]}
k
1
отрезка [a, b] такое, что
k
X
j=1
w(f, [x
j−1
, x
j
])∆x
j
< ε.
Пусть τ = {E
i
}
i
τ
1
— произвольное разбиение отрезка [a, b].
τ
0
— совокупность тех множеств E
i
∈ τ , которые имеют не-
пустое пересечение больше, чем с одним отрезком [x
j−1
, x
j
].
Если E
i
∈ τ
0
, то по лемме 18.2.1 E
i
⊂ U
2|τ|
(E
0
), где E
0
= {x
i
}
k
0
,
µE
0
= 0. Теперь имеем, считая, что |f| 6 M на [a, b],
i
τ
X
i=1
w(f, E
i
)µE
i
=
X
i:E
i
∈τ\τ
0
w(f, E
i
)µE
i
+
X
i:E
i
∈τ
0
w(f, E
i
)µE
i
6
6
k
X
j=1
w(f, [x
j−1
, x
j
])∆x
j
+ 2Mµ
∗
U
2|τ|
(E
0
) < ε + 2M ,
причем последняя оценка имеет место для всех τ с достаточно
малой мелкостью |τ | в силу ле ммы 18.2.3. В силу критерия
интегрируемости (теорема 2) функция f интегрируема на [a, b]
в смысле определения 4.
Установим интегрируемость непрерывных функций.
       § 19.1. Кратный интеграл и критерий интегрируемости                         23

   Следствие 1. Пусть ограниченная функция f интегриру-
ема на множестве E ⊂ Rn . Тогда
                                   Z
     ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : 0 6     f (x) dx − Sτ (f ) < ε,
                     Z              E

            0 6 Sτ −    f (x) dx < ε ∀ τ : |τ | < δ.
                               E

    Покажем, что функция, интегрируемая на отрезке [a, b] в
смысле определения 14.1.2, интегрируема на этом отрезке и
в смысле определения 4 (n = 1, E = [a, b]), так что эти два
различных определения интегрируемости на отрезке эквива-
лентны.
    Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b] в смысле
определения 14.1.2. Тогда она ограничена (по теореме 14.1.1)
и в силу критерия интегрируемости 14.2.1 для заданного ε > 0
существует разбиение {[xj−1 , xj ]}k1 отрезка [a, b] такое, что
                        k
                        X
                              w(f, [xj−1 , xj ])∆xj < ε.
                        j=1

   Пусть τ = {Ei }i1τ — произвольное разбиение отрезка [a, b].
τ0 — совокупность тех множеств Ei ∈ τ , которые имеют не-
пустое пересечение больше, чем с одним отрезком [xj−1 , xj ].
Если Ei ∈ τ0 , то по лемме 18.2.1 Ei ⊂ U2|τ | (E0 ), где E0 = {xi }k0 ,
µE0 = 0. Теперь имеем, считая, что |f | 6 M на [a, b],
iτ
X                          X                            X
      w(f, Ei )µEi =                  w(f, Ei )µEi +              w(f, Ei )µEi 6
i=1                     i:Ei ∈τ \τ0                    i:Ei ∈τ0
                k
                X
            6         w(f, [xj−1 , xj ])∆xj + 2M µ∗ U2|τ | (E0 ) < ε + 2M ,
                j=1
причем последняя оценка имеет место для всех τ с достаточно
малой мелкостью |τ | в силу леммы 18.2.3. В силу критерия
интегрируемости (теорема 2) функция f интегрируема на [a, b]
в смысле определения 4.
   Установим интегрируемость непрерывных функций.

Страницы