Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22 Глава 19. Кратные интегралы
Д о к а з а т е л ь с т в о то же, что для случая E = [a, b].
Критерий интегрируемости кратко можно записать так:
lim
|τ|→0
X
16i6i
τ
µE
i
>0
w
i
(f)µE
i
= 0, (2)
вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен в
ε, δ-терминах в (1).
Определение 5. Пусть функция f ограничена на измери-
мом множестве E ⊂ R
n
и τ = {E
i
}
i
τ
1
— разбиение E. Пусть
M
i
B sup
E
i
f, m
i
B inf
E
i
f.
Тогда суммы
S
τ
(f) B
i
τ
X
i=1
m
i
µE
i
, S
τ
(f) B
i
τ
X
i=1
M
i
µE
i
называют соответственно нижней и верхней интегральными
суммами Д арбу функции f, соответствующими разбиению τ.
Ясно, что для любой интегральной суммы Римана S
τ
(f)
ограниченной функции f
S
τ
(f) 6 S
τ
(f) 6 S
τ
(f).
Легко видеть, что
S
τ
(f) − S
τ
(f) =
i
τ
X
i=1
w
i
(f)µE
i
.
С помощью последнего равенства и критерия интегрируемо-
сти (19.2.1) можно сформулировать критерий интегрируемо-
сти в терминах сумм Дарбу:
Теорема 3. Для интегрируемости ограниченной функции
f на измеримом множестве E ⊂ R
n
необходимо и достаточно,
чтобы
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 :
S
τ
(f) − S
τ
(f) < ε ∀τ : |τ| < δ.
22                   Глава 19. Кратные интегралы

     Д о к а з а т е л ь с т в о то же, что для случая E = [a, b].
     Критерий интегрируемости кратко можно записать так:
                              X
                        lim        wi (f )µEi = 0,               (2)
                      |τ |→0
                                16i6iτ
                                µEi >0

вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен в
ε, δ-терминах в (1).
   Определение 5. Пусть функция f ограничена на измери-
мом множестве E ⊂ Rn и τ = {Ei }i1τ — разбиение E. Пусть
                      Mi B sup f,          mi B inf f.
                                  Ei                Ei

Тогда суммы
                          iτ
                          X                              iτ
                                                         X
              Sτ (f ) B         mi µEi ,   Sτ (f ) B           Mi µEi
                          i=1                            i=1
называют соответственно нижней и верхней интегральными
суммами Дарбу функции f , соответствующими разбиению τ .
   Ясно, что для любой интегральной суммы Римана Sτ (f )
ограниченной функции f
                          Sτ (f ) 6 Sτ (f ) 6 Sτ (f ).
Легко видеть, что
                                           iτ
                                           X
                   Sτ (f ) − Sτ (f ) =           wi (f )µEi .
                                           i=1

С помощью последнего равенства и критерия интегрируемо-
сти (19.2.1) можно сформулировать критерий интегрируемо-
сти в терминах сумм Дарбу:

   Теорема 3. Для интегрируемости ограниченной функции
f на измеримом множестве E ⊂ Rn необходимо и достаточно,
чтобы
     ∀ε > 0   ∃ δ = δ(ε) > 0 : Sτ (f ) − Sτ (f ) < ε ∀ τ : |τ | < δ.

Страницы