Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 21 стр.

     § 19.1. Кратный интеграл и критерий интегрируемости      21

и функцию f : E → R,
                                    1
                                (
                                    y    при 0 < y 6 1,
                   f (x, y) =
                                0
                               при y > 1.
                                     R
Ясно, что f неограничена на E, но ∃ E f (x) dx = 0.
   Однако если функция интегрируема на множестве E ⊂ Rn ,
то она заведомо ограничена на внутренности E (int E) (в част-
ности, интегрируемая на открытом множестве функция огра-
ничена на нем). Это утверждение вытекает из следующей те-
оремы, в которой в качестве E ∗ можно взять, например, E ∗ =
= int E.
   Теорема 1. Пусть множество E измеримо, E ∗ ⊂ E. Пусть
для множества E ∗ существует такая последовательность раз-
биений {τk }∞1 с |τk | → 0 при k → ∞, для которой все элементы
всех разбиений имеют положительную меру.
   Пусть функция f интегрируема на E. Тогда она ограни-
чена на E ∗ . В частности, она ограничена на int E.
   Д о к а з а т е л ь с т в о по существу такое же, как в одно-
мерном случае для E = E ∗ = [a, b]. Заметим лишь, что всякое
разбиение множества E ∗ можно дополнить до разбиения мно-
жества E той же мелкости.
   Упражнение 1. Пусть измеримое множество E ⊂ int E.
Доказать, что всякая интегрируемая на E функция ограничена
на E.
   Напомним, что колебанием функции f на множестве D ⊂
⊂ Rn называется
           w(f ; D) = sup |f (x) − f (y)| = sup f − inf f.
                        x,y∈D                     D       D

   Теорема 2 (критерий интегрируемости).              Для ин-
тегрируемости функции f на измеримом множестве E ⊂ Rn
необходимо и достаточно, чтобы для
                          X
   ∀ ε > 0 ∃ δ = δε > 0 :     wi (f )µEi ∀ τ : |τ | < δ,  (1)
                                16i6iτ
                                µEi >0

где wi (f ) B w(f ; Ei ).