Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 19
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 19.1. Определение кратного интеграла
и критерий интегрируемости
Определение 1. Пусть E ⊂ R
n
— измеримое (по Жор-
дану) множество. Конечная система τ = {E
i
}
i
τ
1
непустых из-
меримых (по Жордану) множеств E
i
называется разбиением
множества E, если
1.
◦
µ(E
i
∩ E
j
) = 0 при i 6= j;
2.
◦
i
τ
S
i=1
E
i
= E.
Число |τ | = max
16i6i
τ
diam(E
i
) называется мелкостью разбие-
ния τ.
Для всякого разбиения τ = {E
i
}
i
τ
1
µE =
i
τ
X
i=1
µE
i
,
что вытекает из свойства аддитивности меры для системы по-
парно непересекающихся множеств
{
˜
E
i
}
i
τ
1
,
˜
E
1
= E
1
,
˜
E
i
= E
i
\
i−1
[
j=1
(E
j
∩ E
i
) (i > 2).
Определение 2. Пусть τ и τ
0
— два разбиения множества
E ⊂ R
n
. Будем говорить, что τ
0
следует за τ или является
измельчением разбиения τ и писать τ
0
τ , если для любого
E
0
j
∈ τ
0
существует E
i
∈ τ: E
0
j
⊂ E
i
.
Разбиения данного множества E обладают следующими
свойствами:
1.
◦
Если τ
1
τ
2
, τ
2
τ
3
, то τ
1
τ
3
.
2.
◦
Для любых τ
1
, τ
2
∃τ: τ τ
1
, τ τ
2
.
Первое свойство очевидно. Для доказательства второго до-
статочно в качестве разбиения τ взять множество всевозмож-
ных непустых пересечений E
(1)
i
∩ E
(2)
j
, где E
(1)
∈ τ
1
, E
(2)
j
∈ τ
2
.
                    Глава 19
               КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

       § 19.1. Определение кратного интеграла
             и критерий интегрируемости
   Определение 1. Пусть E ⊂ Rn — измеримое (по Жор-
дану) множество. Конечная система τ = {Ei }i1τ непустых из-
меримых (по Жордану) множеств Ei называется разбиением
множества E, если
   1.◦ µ(Ei ∩ Ej ) = 0 при i 6= j;
       iτ
   2.◦
       S
          Ei = E.
       i=1
   Число |τ | = max diam(Ei ) называется мелкостью разбие-
                16i6iτ
ния τ .
   Для всякого разбиения τ = {Ei }i1τ
                                         iτ
                                         X
                                  µE =         µEi ,
                                         i=1
что вытекает из свойства аддитивности меры для системы по-
парно непересекающихся множеств
                                                 i−1
                                                 [
     {Ẽ i }i1τ ,   Ẽ 1 = E1 ,    Ẽ i = Ei \         (Ej ∩ Ei )   (i > 2).
                                                 j=1

    Определение 2. Пусть τ и τ 0 — два разбиения множества
E ⊂ Rn . Будем говорить, что τ 0 следует за τ или является
измельчением разбиения τ и писать τ 0  τ , если для любого
Ej0 ∈ τ 0 существует Ei ∈ τ : Ej0 ⊂ Ei .
    Разбиения данного множества E обладают следующими
свойствами:
    1.◦ Если τ1  τ2 , τ2  τ3 , то τ1  τ3 .
    2.◦ Для любых τ1 , τ2 ∃ τ : τ  τ1 , τ  τ2 .
    Первое свойство очевидно. Для доказательства второго до-
статочно в качестве разбиения τ взять множество всевозмож-
                                  (1)   (2)          (2)
ных непустых пересечений Ei ∩ Ej , где E (1) ∈ τ1 , Ej ∈ τ2 .

Страницы