Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
В силу произвольности ε > 0, µ
∗
n+1
E = 0, так что µ
n+1
E = 0.
Пример 1. Криволинейная трапеция
F = {(x, y) : a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f(x)} ⊂ R
2
,
где f — непрерывная на [a, b] функция, f > 0, является изме-
римым (квадрируемым) множеством в силу теоремы 5.
Лемма 3. Пусть E ⊂ R
n
, µE = 0 и
U
δ
(E) B {x : inf
y∈E
|x − y| < δ}
— δ-окрестность множества E (δ > 0).
Тогда µ
∗
U
δ
(E) → 0 при δ → 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть µE = 0, ε > 0 и B
ε
=
m
S
k=1
P
k
— такое элементарное множество, что
E ⊂ B
ε
, µB
ε
< ε.
Для каждого п-прямоугольника P
k
обозначим через
˜
P
k
п-пря-
моугольник, получающийся из P
k
преобразованием подобия с
центром в центре P
k
и коэффициентом подобия, равным двум.
Тогда µ
˜
P
k
= 2
n
µP
k
и для
˜
B
ε
B
m
S
k=1
˜
P
k
µ
˜
B
ε
6 2
n
ε. Ясно, что
∃δ(B
ε
) > 0 : U
δ
(E) ⊂
˜
B
ε
∀δ : 0 < δ 6 δ(B
ε
),
так что µ
∗
U
δ
(E) 6 µ
˜
B
ε
6 2
n
ε, откуда и следует утверждение
леммы.
18    Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве

В силу произвольности ε > 0, µ∗n+1 E = 0, так что µn+1 E = 0.
   Пример 1. Криволинейная трапеция
          F = {(x, y) : a 6 x 6 b,              0 6 y 6 f (x)} ⊂ R2 ,
где f — непрерывная на [a, b] функция, f > 0, является изме-
римым (квадрируемым) множеством в силу теоремы 5.
     Лемма 3. Пусть E ⊂ Rn , µE = 0 и
                   Uδ (E) B {x : inf |x − y| < δ}
                                          y∈E
— δ-окрестность множества E (δ > 0).
  Тогда µ∗ Uδ (E) → 0 при δ → 0.
                                                                        m
                                                                        S
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть µE = 0, ε > 0 и Bε =                  Pk
                                                                        k=1
— такое элементарное множество, что
                          E ⊂ Bε ,         µBε < ε.
Для каждого п-прямоугольника Pk обозначим через P̃ k п-пря-
моугольник, получающийся из Pk преобразованием подобия с
центром в центре Pk и коэффициентом подобия, равным двум.
                                  m
Тогда µP̃ k = 2n µPk и для B̃ ε B   P̃ k µB̃ ε 6 2n ε. Ясно, что
                                  S
                                           k=1

          ∃ δ(Bε ) > 0 : Uδ (E) ⊂ B̃ ε          ∀ δ : 0 < δ 6 δ(Bε ),
так что   µ∗ Uδ (E)   6 µB̃ ε 6   2n ε,   откуда и следует утверждение
леммы.

Страницы