Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20 Глава 19. Кратные интегралы
Определение 3. Пусть на измеримом множестве E ⊂ R
n
определена (числовая) функция f и τ = {E
i
}
i
τ
1
— разбиение
E. Отметим в каждом E
i
какую-либо точку ξ
(i)
∈ E
i
. Тогда
сумма
S
τ
(f; ξ
(1)
, . . . , ξ
(i
τ
)
) B
i
τ
X
i=1
f(ξ
(i)
)µE
i
называется интегральной суммой Римана функции f.
Определение 4. Число I называется интегралом Римана
функции f по измеримому множеству E ⊂ R
n
, если
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 :
i
τ
X
i=1
f(ξ
(i)
)µE
i
− I
< ε
при любом разбиении τ множества E с мелкостью |τ| < δ и при
любом выборе отмеченных точек.
При этом функцию f называют интегрируемой по Риману
на множестве E.
Интеграл от функции f по множеству E обозначаетс я сим-
волами
Z
E
f(x) dx или
ZZ
. . .
Z
E
f(x
1
, . . . , x
n
) dx
1
. . .dx
n
.
Кратко можно записать
Z
E
f(x) dx B lim
|τ|→0
S
τ
(f; ξ
(1)
1
, . . . , ξ
(i
τ
)
),
вкладывая в понятие предела тот с мысл, который выражен в
ε, δ-терминах в определении 4.
Напомним, что в случае n = 1 необходимым условием ин-
тегрируемости функции на отрезке [a, b] является ограничен-
ность этой функции на [a, b]. Следующий пример показывает,
что при n > 2 условие ограниченности не является необходи-
мым для интегрируемости этой функции.
Пример 1. При n = 2 рассмотрим множество E, имеющее
вид «шарика на нитке»:
E = U
1
((0, 3)) ∪ ({0} × (0, 2])
20                    Глава 19. Кратные интегралы

   Определение 3. Пусть на измеримом множестве E ⊂ Rn
определена (числовая) функция f и τ = {Ei }i1τ — разбиение
E. Отметим в каждом Ei какую-либо точку ξ (i) ∈ Ei . Тогда
сумма
                                                iτ
                                                X
            Sτ (f ; ξ (1) , . . . , ξ (iτ ) ) B    f (ξ (i) )µEi
                                            i=1
называется интегральной суммой Римана функции f .
   Определение 4. Число I называется интегралом Римана
функции f по измеримому множеству E ⊂ Rn , если
                                        iτ
                                        X
            ∀ε > 0   ∃ δ = δ(ε) > 0 :         f (ξ (i) )µEi − I < ε
                                        i=1
при любом разбиении τ множества E с мелкостью |τ | < δ и при
любом выборе отмеченных точек.
   При этом функцию f называют интегрируемой по Риману
на множестве E.
   Интеграл от функции f по множеству E обозначается сим-
волами
     Z                ZZ      Z
       f (x) dx или      . . . f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . .dxn .
        E
                                 E
     Кратко можно записать
            Z
                                       (1)
               f (x) dx B lim Sτ (f ; ξ1 , . . . , ξ (iτ ) ),
                 E             |τ |→0

вкладывая в понятие предела тот смысл, который выражен в
ε, δ-терминах в определении 4.
    Напомним, что в случае n = 1 необходимым условием ин-
тегрируемости функции на отрезке [a, b] является ограничен-
ность этой функции на [a, b]. Следующий пример показывает,
что при n > 2 условие ограниченности не является необходи-
мым для интегрируемости этой функции.
    Пример 1. При n = 2 рассмотрим множество E, имеющее
вид «шарика на нитке»:
                     E = U1 ((0, 3)) ∪ ({0} × (0, 2])

Страницы