Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
Теорема 3. Пусть множества E, F ⊂ R
n
измеримы. То-
гда:
1.
◦
(Монотонность меры)
0 6 µE 6 µF, если E ⊂ F. (1)
2.
◦
(Полуаддитивность меры)
µ(E ∪ F ) 6 µE + µF. (2)
3.
◦
(Аддитивность меры)
µ(E ∪ F ) = µE + µF, если E ∩ F = ∅. (3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Измеримость E ∪ F установлена в
теореме 2, (1) и (2) следуют соответственно из монотонности
и полуаддитивности верхней меры (лемма 18.1.3).
Установим (3). Пусть A
1
, A
2
— элементарные множества,
A
1
⊂ E, A
2
⊂ F.
Тогда
A
1
∩ A
2
= ∅, A
1
∪ A
2
⊂ E ∪ F.
В силу (18.1.5), (1), (2)
µA
1
+ µA
2
= µ(A
1
∪ A
2
) 6 µ(E ∪ F ) 6 µE + µF.
Переходя к верхним граням по A
1
⊂ E, A
2
⊂ F , получаем
отсюда, что
µE + µF 6 µ(E ∪ F ) 6 µE + µF,
откуда и следует (3).
Теорема 4. Пусть множество E ⊂ R
n
измеримо. Тогда
измеримы его замыкание E и его внутренность int E и µE =
= µ(int E) = µE.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из измеримости E следует в силу
критерия измеримости, что µ∂E = 0. Но
E = E ∪ ∂E, int E = E \ ∂E.
Остается воспользоваться теоремами 2, 3.
Для ряда важных применений критерия измеримости уста-
новим, что некоторые множества простого вида имеют меру
нуль.
16    Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве

   Теорема 3. Пусть множества E, F ⊂ Rn измеримы. То-
гда:
    1.◦ (Монотонность меры)
                        0 6 µE 6 µF, если E ⊂ F.            (1)
     2.◦ (Полуаддитивность меры)
                           µ(E ∪ F ) 6 µE + µF.             (2)
     3.◦   (Аддитивность меры)
                  µ(E ∪ F ) = µE + µF, если E ∩ F = ∅.      (3)
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Измеримость E ∪ F установлена в
теореме 2, (1) и (2) следуют соответственно из монотонности
и полуаддитивности верхней меры (лемма 18.1.3).
   Установим (3). Пусть A1 , A2 — элементарные множества,
                         A1 ⊂ E,     A2 ⊂ F.
     Тогда
                A1 ∩ A2 = ∅,       A1 ∪ A2 ⊂ E ∪ F.
В силу (18.1.5), (1), (2)
           µA1 + µA2 = µ(A1 ∪ A2 ) 6 µ(E ∪ F ) 6 µE + µF.
   Переходя к верхним граням по A1 ⊂ E, A2 ⊂ F , получаем
отсюда, что
                  µE + µF 6 µ(E ∪ F ) 6 µE + µF,
откуда и следует (3).
   Теорема 4. Пусть множество E ⊂ Rn измеримо. Тогда
измеримы его замыкание E и его внутренность int E и µE =
= µ(int E) = µE.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Из измеримости E следует в силу
критерия измеримости, что µ∂E = 0. Но
                   E = E ∪ ∂E,     int E = E \ ∂E.
Остается воспользоваться теоремами 2, 3.
   Для ряда важных применений критерия измеримости уста-
новим, что некоторые множества простого вида имеют меру
нуль.

Страницы