Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
Лемма 2. Пусть ограниченное множество E ⊂ R
n
, D —
элементарное множество, ∂E ⊂ D. Тогда B B E ∪ D — эле-
ментарное множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть п-прямоугольник Q ⊃ E∪D.
Тогда элементарное множество
Q \D =
l
[
k=1
P
k
!
∪
m
[
k=l+1
P
k
!
,
где P
k
(1 6 k 6 m) — попарно непересекающиеся п-прямо-
угольники,
E ∩ P
k
6= ∅ (1 6 k 6 l), E ∩ P
k
= ∅ (l + 1 6 k 6 m).
На самом деле P
k
⊂ E при 1 6 k 6 l в силу леммы 1.
Из
l
S
k=1
P
k
⊂ E,
m
S
k=l+1
P
k
!
∩ E = ∅ следует, что
B = E ∪ D =
l
[
k=1
P
k
!
∪ D,
а значит, и утверждение леммы.
Теорема 1 (критерий измеримости). Для измери-
мости ограниченного множества E ⊂ R
n
необходимо и доста-
точно, чтобы мера его границы µ∂E = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Пусть множество E измеримо.
Тогда для ∀ε > 0 существуют элементарные множества A
ε
,
B
ε
такие, что
A
ε
⊂ E ⊂ B
ε
, µB
ε
− µA
ε
< ε.
Тогда ∂E ⊂ B
ε
\ int A
ε
. Сужая п-прямоугольники, соста-
вляющие A
ε
, и расширяя п-прямоугольники, составляющие B
ε
(как это делалось в примере 18.1.1), без ограничения общности
можем считать, что ∂E ⊂ B
ε
\A
ε
. В силу монотонности верх-
ней меры, леммы 18.1.1 и (18.1.6)
µ
∗
∂E 6 µ
∗
(B
ε
\ A
ε
) = µ(B
ε
\ A
ε
) = µB
ε
− µA
ε
< ε.
Поэтому µ
∗
∂E = 0. Следовательно, ∂E измеримо и µ∂E = 0.
14    Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве

   Лемма 2. Пусть ограниченное множество E ⊂ Rn , D —
элементарное множество, ∂E ⊂ D. Тогда B B E ∪ D — эле-
ментарное множество.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть п-прямоугольник Q ⊃ E ∪D.
Тогда элементарное множество
                              l           m
                                   !           !
                             [            [
                Q\D =            Pk ∪        Pk ,
                             k=1           k=l+1
где Pk (1 6 k 6 m) — попарно непересекающиеся п-прямо-
угольники,
     E ∩ Pk 6= ∅ (1 6 k 6 l),      E ∩ Pk = ∅ (l + 1 6 k 6 m).
На самом деле Pk ⊂ E при 1!6 k 6 l в силу леммы 1.
      Sl            m
                    S
   Из    Pk ⊂ E,       Pk ∩ E = ∅ следует, что
        k=1          k=l+1
                                     l
                                                !
                                     [
                  B =E∪D =                 Pk       ∪ D,
                                     k=1
а значит, и утверждение леммы.
   Теорема 1 (критерий измеримости).        Для измери-
мости ограниченного множества E ⊂ Rn необходимо и доста-
точно, чтобы мера его границы µ∂E = 0.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Пусть множество E измеримо.
Тогда для ∀ ε > 0 существуют элементарные множества Aε ,
Bε такие, что
                 Aε ⊂ E ⊂ B ε ,     µBε − µAε < ε.
   Тогда ∂E ⊂ Bε \ int Aε . Сужая п-прямоугольники, соста-
вляющие Aε , и расширяя п-прямоугольники, составляющие Bε
(как это делалось в примере 18.1.1), без ограничения общности
можем считать, что ∂E ⊂ Bε \ Aε . В силу монотонности верх-
ней меры, леммы 18.1.1 и (18.1.6)
       µ∗ ∂E 6 µ∗ (Bε \ Aε ) = µ(Bε \ Aε ) = µBε − µAε < ε.
Поэтому µ∗ ∂E = 0. Следовательно, ∂E измеримо и µ∂E = 0.

Страницы