Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 13 стр.

       § 18.2. Свойства измеримых по Жордану множеств            13

G+ = D × (0, 1). Она следует из того, что
                                      ∞
               ∗   +             +
                                      X 2ε
             µ G = 1,        µ∗ G =               = 2ε < 1.
                                            2j
                                      j=1

   Упражнение 3. Доказать, что для измеримости множе-
ства E ⊂ Rn необходимо и достаточно, чтобы для любого ε >
> 0 существовали такие два измеримых множества Fε , Gε , что
Fε ⊂ E ⊂ Gε , µ(Gε \ Fε ) < ε.

      § 18.2. Свойства измеримых по Жордану
                      множеств
   Упражнение 1. Доказать, что если множества E, F ⊂ Rn
измеримы, то:
   1.◦ Измеримы множества E ∪ F , E ∩ F и
                       µ(E ∪ F ) + µ(E ∩ F ) = µE + µF.
   2.◦ Измеримо множество E \ F и
                   µ(E \ F ) = µE − µF,          если   F ⊂ E.
   У к а з а н и е. Получить сначала эти равенства для эле-
ментарных множеств. Затем оценить снизу нижние и сверху
верхние меры множеств из левых частей равенств.

   Лемма 1. Пусть E ⊂ Rn , x(0) ∈ E, y (0) 6∈ E. Тогда на
отрезке, соединяющем точки x(0) , y (0) , найдется точка z (0) ∈
∈ ∂E.

     Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить путем последова-
тельного деления пополам отрезка с концами в точках x(0) , y (0) ,
отбирая на каждом шаге тот отрезок, для которого один конец
принадлежит E, а другой — не принадлежит E. Пусть z (0) —
общая точка для всех отрезков построенной стягивающейся си-
стемы вложенных отрезков. Тогда всякая окрестность U (z (0) )
содержит как точки из E, так и точки не из E. Следовательно,
z (0) ∈ ∂E.