Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
В частности, внутренность int P =
n
Q
i=1
(a
i
, b
i
) и замыкание
P =
n
Q
i=1
[a
i
, b
i
] измеримы и
µ(int P ) = µP = µP.
Для доказательства достаточно рассмотреть п-прямоугольни-
ки P
m
, Q
m
:
P
m
=
n
Y
i=1
a
i
+
1
m
, b
i
−
1
m
⊂ P ⊂
n
Y
i=1
a
i
−
1
m
, b
i
+
1
m
= Q
m
и учесть, что lim
m→∞
µP
m
= lim
m→∞
µQ
m
=
n
Q
i=1
(b
i
− a
i
).
Упражнение 2. Пусть A — элементарное множество. До-
казать, используя предыдущий пример, что int A и A являются
измеримыми множествами и
µ(int A) = µA = µA.
Пример 2. Множество в R, состоящее из конечного числа
точек, измеримо, и мера его равна нулю.
Пример 3. Множество E ⊂ R рациональных точек от-
резка [0, 1] неизмеримо, т. к. µ
∗
E = 0, µ
∗
E = 1.
Пример 4. Множество точек E × {0} ⊂ R
2
, где E то же,
что в примере 3, измеримо, и двумерная мера его равна нулю.
Пример 5. Всякое подмножество множества меры нуль
измеримо и также имеет меру, равную нулю.
Пример 6 (ограниченной неизмеримой области). Пусть
{r
j
}
∞
1
— каким-либо образом занумерованная последователь-
ность рациональных точек интервала (0, 1), 0 < ε <
1
2
,
D =
∞
[
j=1
r
j
−
ε
2
j
, r
j
+
ε
2
j
⊂ R
1
,
G = (D × [0, 1)) ∪(0, 1) × (−1, 0) ⊂ R
2
.
Очевидно, что G является областью. Покажем, что G не из-
мерима по Жордану. Достаточно установить неизмеримость
12    Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
                                                   n
                                                   Q
     В частности, внутренность int P =                   (ai , bi ) и замыкание
                                                   i=1
      n
      Q
P =         [ai , bi ] измеримы и
      i=1

                             µ(int P ) = µP = µP.
Для доказательства достаточно рассмотреть п-прямоугольни-
ки Pm , Qm :
         n                     n              
        Y       1       1        Y     1       1
  Pm =      ai + , bi −     ⊂P ⊂   ai − , bi +     = Qm
                m       m              m       m
            i=1                              i=1
                                                   n
                                                   Q
и учесть, что lim µPm = lim µQm =                        (bi − ai ).
                    m→∞             m→∞            i=1
   Упражнение 2. Пусть A — элементарное множество. До-
казать, используя предыдущий пример, что int A и A являются
измеримыми множествами и
                             µ(int A) = µA = µA.
    Пример 2. Множество в R, состоящее из конечного числа
точек, измеримо, и мера его равна нулю.
    Пример 3. Множество E ⊂ R рациональных точек от-
резка [0, 1] неизмеримо, т. к. µ∗ E = 0, µ∗ E = 1.
    Пример 4. Множество точек E × {0} ⊂ R2 , где E то же,
что в примере 3, измеримо, и двумерная мера его равна нулю.
    Пример 5. Всякое подмножество множества меры нуль
измеримо и также имеет меру, равную нулю.
    Пример 6 (ограниченной неизмеримой области). Пусть
{rj }∞
     1 — каким-либо образом занумерованная последователь-
ность рациональных точек интервала (0, 1), 0 < ε < 21 ,
                       ∞ 
                       [            ε          ε
                  D=         rj −      , r j +    ⊂ R1 ,
                                    2j         2j
                       j=1

                  G = (D × [0, 1)) ∪ (0, 1) × (−1, 0) ⊂ R2 .
Очевидно, что G является областью. Покажем, что G не из-
мерима по Жордану. Достаточно установить неизмеримость

Страницы