Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10 Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
3.
◦
(Аддитивность меры)
µ(A ∪ B) = µA + µB, если A ∩ B = ∅. (5)
µ(A \ B) = µA − µB, при B ⊂ A. (6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. (3) очевидно. Установим (5). Мно-
жество A ∪ B элементарно в силу леммы 1. Если
A =
m
[
k=1
P
k
, B =
r
[
j=1
Q
j
, P
k
, Q
j
— п-прямоугольники,
P
i
∩ P
k
= ∅ при i 6= k, Q
i
∩ Q
k
= ∅ при i 6= k,
то
A ∪ B =
m
[
k=1
P
k
!
∪
r
[
j=1
Q
j
,
причем P
k
∩ Q
j
= ∅ ∀k, j.
Тогда по определению меры элементарного множества
µ(A ∪ B) =
m
X
k=1
µP
k
+
r
X
j=1
µQ
j
,
µA =
m
X
k=1
µP
k
, µB =
r
X
j=1
µQ
j
,
откуда следует (5). Из (5) и (3) следует (4):
µ(A ∪ B) = µ(A \ (A ∩ B)) + µB 6 µA + µB.
Из (5) следует (6).
Определение 3. Пусть E ⊂ R
n
— ограниченное множе-
ство. Числа
µ
∗
E = sup
A⊂E
µA, µ
∗
E = inf
B⊃E
µB,
где верхняя и нижняя грани берутся по всем элементарным
множествам A, B (A ⊂ E, B ⊃ E), называются соответ-
ственно нижней (или внутренней) и верхней (или внешней)
мерой Жордана множества E.
10   Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве

     3.◦ (Аддитивность меры)
                   µ(A ∪ B) = µA + µB,                  если     A ∩ B = ∅.   (5)
                        µ(A \ B) = µA − µB,               при B ⊂ A.          (6)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. (3) очевидно. Установим (5). Мно-
жество A ∪ B элементарно в силу леммы 1. Если
          m
          [                   r
                              [
     A=         Pk ,    B=         Qj ,     Pk , Qj — п-прямоугольники,
          k=1                j=1
          Pi ∩ Pk = ∅ при i 6= k,               Qi ∩ Qk = ∅ при i 6= k,
то                                   m
                                                !    
                                                         r
                                                                 
                                     [                   [
                       A∪B =               Pk       ∪        Qj  ,
                                    k=1                 j=1
причем Pk ∩ Qj = ∅ ∀ k, j.
   Тогда по определению меры элементарного множества
                                          m
                                          X              r
                                                         X
                        µ(A ∪ B) =              µPk +          µQj ,
                                          k=1            j=1
                              m
                              X                          Xr
                       µA =         µPk ,       µB =           µQj ,
                              k=1                        j=1

откуда следует (5). Из (5) и (3) следует (4):
           µ(A ∪ B) = µ(A \ (A ∩ B)) + µB 6 µA + µB.
Из (5) следует (6).
   Определение 3. Пусть E ⊂ Rn — ограниченное множе-
ство. Числа
                       µ∗ E = sup µA,           µ∗ E = inf µB,
                              A⊂E                         B⊃E

где верхняя и нижняя грани берутся по всем элементарным
множествам A, B (A ⊂ E, B ⊃ E), называются соответ-
ственно нижней (или внутренней) и верхней (или внешней)
мерой Жордана множества E.

Страницы