Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве
левой и нижней сторон или пустое множество. В случае n =
= 3 P — прямоугольный параллелепипед без трех граней или
пустое множество.
Меру пустого множества положим равной нулю.
Для каждого из п-прямоугольников (1) определим его меру
равенством
µP B
n
Y
i=1
(b
i
− a
i
). (2)
Таким образом, каждому п-прямоугольнику P вида (1) по-
ставлено в соответствие число — его мера µP ; при этом вы-
полнены следующие условия:
1.
◦
µP > 0;
2.
◦
мера µP аддитивна, т. е. если P =
m
S
k=1
P
k
(P , P
i
—
п-прямоугольники) и P
i
∩ P
k
= ∅ при i 6= k, то
µP =
m
X
i=1
µP
k
.
Определение 2. Множество A ⊂ R
n
назовем элементар-
ным, если оно представимо в виде объединения конечного чи-
сла попарно непересекающихся п-прямоугольников.
Лемма 1. Совокупность элементарных множеств за-
мкнута относительно операций объединения, пересечения и
разности, т. е. объединение, пересечение и разность двух эле-
ментарных множеств также являются элементарными множе-
ствами.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что пересечение двух п-пря-
моугольников есть п-прямоугольник. Поэтому пересечение
двух элементарных множеств является элементарным множе-
ством.
Разность двух п-прямоугольников является, как легко про-
верить, элементарным множеством. Отсюда следует, что раз-
ность двух элементарных множеств также является элемен-
тарным множеством.
8   Глава 18. Мера множеств в n-мерном евклид. пространстве

левой и нижней сторон или пустое множество. В случае n =
= 3 P — прямоугольный параллелепипед без трех граней или
пустое множество.
   Меру пустого множества положим равной нулю.
   Для каждого из п-прямоугольников (1) определим его меру
равенством
                          Yn
                     µP B    (bi − ai ).                (2)
                             i=1
   Таким образом, каждому п-прямоугольнику P вида (1) по-
ставлено в соответствие число — его мера µP ; при этом вы-
полнены следующие условия:
   1.◦ µP > 0;
                                           m
   2.◦ мера µP аддитивна, т. е. если P =
                                           S
                                              Pk (P , Pi —
                                                 k=1
       п-прямоугольники) и Pi ∩ Pk = ∅ при i 6= k, то
                                   m
                                   X
                            µP =         µPk .
                                   i=1

   Определение 2. Множество A ⊂ Rn назовем элементар-
ным, если оно представимо в виде объединения конечного чи-
сла попарно непересекающихся п-прямоугольников.

   Лемма 1. Совокупность элементарных множеств за-
мкнута относительно операций объединения, пересечения и
разности, т. е. объединение, пересечение и разность двух эле-
ментарных множеств также являются элементарными множе-
ствами.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что пересечение двух п-пря-
моугольников есть п-прямоугольник. Поэтому пересечение
двух элементарных множеств является элементарным множе-
ством.
   Разность двух п-прямоугольников является, как легко про-
верить, элементарным множеством. Отсюда следует, что раз-
ность двух элементарных множеств также является элемен-
тарным множеством.

Страницы