Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 18
МЕРА МНОЖЕСТВ В n-МЕРНОМ
ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Как и в §10.1, символом R
n
(n ∈ N) будем обозначать
n-мерное евклидово пространство, т. е. множество всевоз-
можных упорядоченных наборов действительных чисел x =
= (x
1
, . . . , x
n
), называемых точками (с координатами x
1
, . . . ,
x
n
), в котором введено понятие расстояния:
dist(x, y) B
v
u
u
t
n
X
i=1
(x
i
− y
i
)
2
при x = (x
1
, . . . , x
n
), y = (y
1
, . . . , y
n
) ∈ R
n
.
Уже отмечалось, что в R
n
можно ввести сложение,
x + y B (x
1
+ y
1
, . . . , x
n
+ y
n
) ∀x, y ∈ R
n
,
и умножение на действительное число λ,
λx B (λx
1
, . . . , λx
n
) ∀x ∈ R
n
, ∀λ ∈ R.
Операции сложения и умножения на действительное число
обладают теми же свойствами, что и операции сложения и
умножения в R. В частности, нулевым элементом в R
n
явля-
ется
~
0 = (0, . . . , 0), определена разность (как операция, обрат-
ная сложению), имеющая вид
x − y = (x
1
− y
1
, . . . , x
n
− y
n
) ∀x, y ∈ R
n
,
и т. д. Таким образом, R
n
превращается в линейное (век-
торное) пространство. Элементы (точки) R
n
будем называть
также векторами.
В R
n
можно ввести понятие скалярного произведения двух
векторов:
(x, y) =
n
X
i=1
x
i
y
i
∀x, y ∈ R
n
.
Оно согласовано с уже имеющимся понятием расстояния в R
n
в том смысле, что
dist(x, y) = |x − y| ∀x, y ∈ R
n
,
            Глава 18
   МЕРА МНОЖЕСТВ В n-МЕРНОМ
   ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
    Как и в § 10.1, символом Rn (n ∈ N) будем обозначать
n-мерное евклидово пространство, т. е. множество всевоз-
можных упорядоченных наборов действительных чисел x =
= (x1 , . . . , xn ), называемых точками (с координатами x1 , . . . ,
xn ), в котором введено понятие расстояния:
                                     v
                                     u n
                                     uX
                        dist(x, y) B t (xi − yi )2
                                    i=1

при x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .
   Уже отмечалось, что в Rn можно ввести сложение,
          x + y B (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) ∀ x, y ∈ Rn ,
и умножение на действительное число λ,
           λx B (λx1 , . . . , λxn ) ∀ x ∈ Rn ,    ∀ λ ∈ R.
Операции сложения и умножения на действительное число
обладают теми же свойствами, что и операции сложения и
умножения в R. В частности, нулевым элементом в Rn явля-
ется ~0 = (0, . . . , 0), определена разность (как операция, обрат-
ная сложению), имеющая вид
          x − y = (x1 − y1 , . . . , xn − yn ) ∀ x, y ∈ Rn ,
и т. д. Таким образом, Rn превращается в линейное (век-
торное) пространство. Элементы (точки) Rn будем называть
также векторами.
   В Rn можно ввести понятие скалярного произведения двух
векторов:
                        n
                        X
               (x, y) =   xi yi ∀ x, y ∈ Rn .
                           i=1
Оно согласовано с уже имеющимся понятием расстояния в Rn
в том смысле, что
                 dist(x, y) = |x − y|     ∀ x, y ∈ Rn ,

Страницы