Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§18.1. Определение меры по Жордану 7
где |x| B
s
n
P
i=1
x
2
i
=
p
(x, x) — длина вектора x. Два вектора x,
y называют ортогональными друг другу (пишут x ⊥ y), если
(x, y) = 0. Ве ктор x ∈ R
n
называют единичным вектором, если
|x| = 1.
Единичными, например, являются векторы
e
i
= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ R
n
, (1 6 i 6 n)
(единица стоит на i-м месте).
Набор векторов e
1
, e
2
, . . . , e
n
называют ортогональным
базисом единичных векторов. Он обладает двумя свойствами:
1.
◦
e
i
⊥ e
j
при i 6= j,
2.
◦
x =
n
P
i=1
x
i
e
i
∀x ∈ R
n
.
Последнее равенство называют разложением вектора x по ба-
зису {e
i
}
n
1
.
Ортогональный базис {e
i
}
n
1
определяет в R
n
ортогональную
систему координат. Точка
~
0 называется началом координат,
прямые
{x : x = te
i
, −∞ < t < +∞}, i = 1, . . . , n,
— координатными осями, числа x
1
, . . . , x
n
— координатами
вектора x = (x
1
, . . . , x
n
).
§ 18.1. Определение меры по Жордану
Введем и изучим понятие меры в R
n
, обобщающее понятие
длины (n = 1), площади (n = 2), объема (n = 3). Будет изло-
жена теория меры множеств, предложенная Жорданом.
Определение 1. Множество
P = (a
1
, b
1
] ×(a
2
, b
2
] × . . . ×(a
n
, b
n
] ⊂ R
n
, (1)
где a
i
, b
i
∈ R, a
i
6 b
i
(i = 1, . . . , n), будем назы-
вать полуоткрытым прямоугольником, или сокращенно —
п-прямоугольником.
В случае n = 1 P представляет собой полуинтервал или
пустое множество. В случае n = 2 P — прямоугольник без
                 § 18.1. Определение меры по Жордану                           7
            s
                n             p
                      x2i =
                P
где |x| B                         (x, x) — длина вектора x. Два вектора x,
                i=1
y называют ортогональными друг другу (пишут x ⊥ y), если
(x, y) = 0. Вектор x ∈ Rn называют единичным вектором, если
|x| = 1.
    Единичными, например, являются векторы
            ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn ,     (1 6 i 6 n)
(единица стоит на i-м месте).
   Набор векторов e1 , e2 , . . . , en называют ортогональным
базисом единичных векторов. Он обладает двумя свойствами:
    1.◦ ei ⊥ ej при i 6= j,
             n
    2.◦ x =     xi ei ∀ x ∈ Rn .
             P
              i=1
Последнее равенство называют разложением вектора x по ба-
зису {ei }n1 .
   Ортогональный базис {ei }n1 определяет в Rn ортогональную
систему координат. Точка ~0 называется началом координат,
прямые
        {x : x = tei ,            −∞ < t < +∞},           i = 1, . . . , n,
— координатными осями, числа x1 , . . . , xn — координатами
вектора x = (x1 , . . . , xn ).

       § 18.1. Определение меры по Жордану
   Введем и изучим понятие меры в Rn , обобщающее понятие
длины (n = 1), площади (n = 2), объема (n = 3). Будет изло-
жена теория меры множеств, предложенная Жорданом.
   Определение 1. Множество
              P = (a1 , b1 ] × (a2 , b2 ] × . . . × (an , bn ] ⊂ Rn ,         (1)
где ai , bi ∈ R, ai                6 bi (i = 1, . . . , n), будем назы-
вать полуоткрытым                  прямоугольником, или сокращенно —
п-прямоугольником.
   В случае n = 1 P                представляет собой полуинтервал или
пустое множество. В                случае n = 2 P — прямоугольник без

Страницы