Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§18.1. Определение меры по Жордану 9
Если A, B — элементарные множества, то их объединение
можно представить в виде
A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B),
т. е. в виде объединения трех попарно непересекающихся эле-
ментарных множеств. Отсюда следует, что A ∪ B — элемен-
тарное множество.
Определим теперь меру µA для элементарного множества
A =
m
[
k=1
P
k
, P
i
∩ P
k
= ∅ при i 6= k,
(где P
k
— п-прямоугольники) равенством
µA B
m
X
k=1
µP
k
.
Покажем, что это определение корректно, т. е. что µA не зави-
сит от способа представления A в виде объединения конечного
числа попарно непересекающихся п-прямоугольников. Пусть
A =
[
k
P
k
=
[
j
Q
j
, P
i
∩ P
k
= ∅, Q
j
∩ Q
k
= ∅ при i 6= k,
где P
k
и Q
j
— п-прямоугольники. Так как пересечение двух
п-прямоугольников есть п-прямоугольник, то в силу аддитив-
ности меры для п-прямоугольников
X
k
µP
k
=
X
k,j
µ(P
k
∩ Q
j
) =
X
j
µQ
j
.
В частности, если п-прямоугольник P (1) представить в
виде P =
m
S
k=1
P
k
, то мера его как элементарного множества
совпадет с (2).
Лемма 2. Пусть A, B — элементарные множества. Тогда
1.
◦
(Монотонность меры)
0 6 µA 6 µB, если A ⊂ B. (3)
2.
◦
(Полуаддитивность меры)
µ(A ∪ B) 6 µA + µB. (4)
               § 18.1. Определение меры по Жордану          9

   Если A, B — элементарные множества, то их объединение
можно представить в виде
               A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B),
т. е. в виде объединения трех попарно непересекающихся эле-
ментарных множеств. Отсюда следует, что A ∪ B — элемен-
тарное множество.
    Определим теперь меру µA для элементарного множества
                 [m
             A=     Pk , Pi ∩ Pk = ∅ при i 6= k,
                       k=1
(где Pk — п-прямоугольники) равенством
                            m
                            X
                      µA B     µPk .
                                      k=1
Покажем, что это определение корректно, т. е. что µA не зави-
сит от способа представления A в виде объединения конечного
числа попарно непересекающихся п-прямоугольников. Пусть
      [       [
  A=     Pk =    Qj , Pi ∩ Pk = ∅, Qj ∩ Qk = ∅ при i 6= k,
         k         j
где Pk и Qj — п-прямоугольники. Так как пересечение двух
п-прямоугольников есть п-прямоугольник, то в силу аддитив-
ности меры для п-прямоугольников
            X         X                X
                µPk =    µ(Pk ∩ Qj ) =   µQj .
                   k            k,j             j

   В частности, если п-прямоугольник P (1) представить в
          m
          S
виде P =     Pk , то мера его как элементарного множества
             k=1
совпадет с (2).
   Лемма 2. Пусть A, B — элементарные множества. Тогда
   1.◦ (Монотонность меры)
                             0 6 µA 6 µB,   если A ⊂ B.   (3)
   2.◦   (Полуаддитивность меры)
                                µ(A ∪ B) 6 µA + µB.       (4)

Страницы