Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 11 стр.

             § 18.1. Определение меры по Жордану                 11

   Лемма 3. Нижняя и верхняя меры ограниченных мно-
жеств обладают следующими свойствами:
   1.◦ 0 6 µ∗ E 6 µ∗ E < +∞;
   2.◦ (монотонность нижней и верхней мер). Если E ⊂ F , то
       0 6 µ∗ E 6 µ∗ F , 0 6 µ∗ E 6 µ∗ F .
     ◦
   3. (полуаддитивность верхней меры).
       µ∗ (E ∪ F ) 6 µ∗ E + µ∗ F .
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство 1◦ очевидно, свойства 2◦ ,
3◦ следуют соответственно из (3), (4).
   Определение 4. Ограниченное множество E ⊂ Rn назы-
вается измеримым по Жордану, если µ∗ E = µ∗ E, т. е. если его
нижняя и верхняя меры совпадают. Общее значение этих мер
называется мерой Жордана множества E и обозначается µE.
   Таким образом, для измеримого по Жордану множества E
                          µ∗ E = µ∗ E = µE.
   З а м е ч а н и е 1. Множество, измеримое по Жор-
дану, в случае n = 2 называют также квадрируемым, а в слу-
чае n = 3 — кубируемым.
   Очевидно, любое элементарное множество измеримо по
Жордану и его мера Жордана совпадает с его мерой как эле-
ментарного множества.
   З а м е ч а н и е 2. В дальнейшем вместо «измери-
мость по Жордану», «мера Жордана» будем говорить «изме-
римость», «мера», поскольку другие понятия измеримости и
меры в данном курсе не изучаются.
   Упражнение 1. Пусть E — измеримое множество. По-
казать, что µE > 0 тогда и только тогда, когда E имеет вну-
тренние точки.
   Пример 1. Пусть при ai , bi ∈ R, ai < bi ,
                  Yn                  n
                                      Y
                     (ai , bi ) ⊂ P ⊂   [ai , bi ].
                    i=1               i=1
Тогда прямоугольник P (замкнутый, или без части границы,
                             Qn
или открытый) измерим и µP =    (bi − ai ).
                                    i=1