Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 15 стр.

      § 18.2. Свойства измеримых по Жордану множеств        15

   2◦ . Пусть множество E ограничено и µ∂E = 0. Пусть ε >
> 0. Тогда существует элементарное множество Dε такое, что
∂E ⊂ Dε , µDε < ε. Построим множества
                 Bε = E ∪ Dε ,   Aε = Bε \ Dε .

  Множества Bε , Aε элементарны в силу лемм 2 и 18.1.1.
Кроме того,
          Aε ⊂ E ⊂ B ε ,   µAε 6 µ∗ E 6 µ∗ E 6 µBε .
Отсюда
           0 6 µ∗ E − µ∗ E 6 µBε − µAε = µDε < ε.
Следовательно, µ∗ E = µ∗ E, т. е. множество E измеримо.

    Теорема 2. Совокупность измеримых множеств замкнута
относительно операций объединения, пересечения и разности,
т. е. если множества E, F измеримы, то измеримы и E ∪ F ,
E ∩ F, E \ F.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что
∂(E ∪ F ) ⊂ ∂E ∪ ∂F, ∂(E ∩ F ) ⊂ ∂E ∪ ∂F, ∂(E \ F ) ⊂ ∂E ∪ ∂F.
Сделаем это лишь в первом случае. Пусть x(0) ∈ ∂(E ∪ F ). То-
гда в каждой окрестности U (x(0) ) находятся как точки из E∪F ,
так и не из E ∪ F . Следовательно, либо в каждой окрестности
U (x(0) ) находятся точки из E (и тогда x(0) ∈ ∂E), либо в ка-
ждой окрестности находятся точки из F (и тогда x(0) ∈ ∂F ).
Поэтому x(0) ∈ ∂E ∪ ∂F , а значит, ∂(E ∪ F ) ⊂ ∂E ∪ ∂F .
    В силу критерия измеримости (теорема 1) µ∂E = 0, µ∂F =
= 0. Используя монотонность и полуаддитивность верхней
меры, имеем
µ∗ ∂(E ∪ F ) 6 µ∗ (∂E ∪ ∂F ) 6 µ∗ ∂E + µ∗ ∂F = µ∂E + µ∂F = 0.
Следовательно, µ∂(E ∪ F ) = 0 и в силу критерия измеримости
объединение E ∪ F измеримо.
   Аналогично устанавливается измеримость E ∩ F и E \ F .