Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 17 стр.

         § 18.2. Свойства измеримых по Жордану множеств           17

   Теорема 5. График непрерывной на компакте функции
имеет меру нуль.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f : F → R, где F ⊂ Rn —
компакт.
           E = {(x, xn+1 ) = (x1 , . . . , xn , xn+1 ) : x ∈ F,
                          xn+1 = f (x)} ⊂ Rn+1
— график функции f . Покажем, что (n + 1)-мерная мера мно-
жества E µn+1 E равна нулю. Функция f , как непрерывная на
компакте, равномерно непрерывна на нем. Следовательно, для
∀ε > 0    ∃ δ = δε > 0 : |f (x)−f (y)| < ε при x, y ∈ E, |x−y| < δ.
   Пусть п-прямоугольник P̃ ⊃ F , P̃ ⊂ Rn . Разобьем его на
попарно непересекающиеся п-прямоугольники, диаметры ко-
торых меньше δ, и обозначим через P1 , . . . , Pm те из них,
которые пересекаются с F . В каждом Pj возьмем какую-либо
точку x(j) ∈ Pj и построим п-прямоугольник
            Qj B Pj × (f (x(j) ) − ε, f (x(j) ) + ε] ⊂ Rn+1 .
Очевидно, график сужения функции f на F ∩ Pj содержится в
                        m
                        S
Qj . Следовательно, E ⊂   Qj и в силу монотонности верхней
                              j=1
меры
                                  m
                                  X
                      µ∗n+1 E 6         2εµPj 6 2εµP̃ .
                                  j=1
   В силу произвольности ε > 0 µ∗n+1 E = 0, так что µn+1 E =
= 0.
   Теорема 6. Пусть F ⊂ Rn , µF = 0. Тогда прямой ци-
линдр E = F × [a, b] ⊂ Rn+1 измерим и µn+1 E = 0.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε > 0 и Bε — такое элемен-
тарное множество в Rn , что
                           F ⊂ Bε ,      µBε < ε.
Тогда Bε × (a − 1, b] — элементарное множество в Rn+1 ,
                           E ⊂ Bε × (a − 1, b],
           µ∗n+1 E   6 µn+1 (Bε × (a − 1, b]) < ε(b − a + 1).