Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 Глава 19. Кратные интегралы
заключаем, что S
τ
(f) →
R
F
f(x) dx +
R
G
f(x) dx, откуда и сле-
дует утверждение 3
◦
.
Упражнение 1. Показать, что требование ограниченно-
сти функции f на E в ф ормулировке свойства 3
◦
нельзя отбро-
сить.
4
◦
. Пусть функция f интегрируема и ограничена на множе-
стве E. При изменении ее значений на подмножестве E
0
⊂ E
меры нуль (с сохранением ограниченности) она остается инте-
грируемой и величина интеграла не изменяется.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Z
E
f(x) dx =
Z
E\E
0
f(x) dx +
Z
E
0
f(x) dx =
Z
E\E
0
f(x) dx.
Следовательно,
R
E
f(x) dx не зависит от значений f на E
0
.
Следствие 1. Пусть функция f определена и ограничена
на замыкании E измеримого множества E. Тогда интегралы
Z
E
f(x) dx,
Z
E
f(x) dx,
Z
int E
f(x) dx
существуют или не существуют одновременно и равны в слу-
чае их существования.
5
◦
. (Линейность интеграла). Пусть функции f , g интегри-
руемы на множестве E, α, β ∈ R. Тогда существует интеграл
Z
E
[αf(x) + βg(x)] dx = α
Z
E
f(x) dx + β
Z
E
g(x) dx.
6
◦
. Пусть функции f , g интегрируемы и ограничены на E.
Тогда их произведение f g, а если inf
E
|g| > 0, то и частное
f
g
интегрируемы на E.
7
◦
. Пусть функция f интегрируема на E. Тогда и функция
|f| — интегрируема на E и при этом
Z
E
f(x) dx
6
Z
E
|f(x)|dx.
26                      Глава 19. Кратные интегралы
                             R           R
заключаем, что Sτ (f ) → F f (x) dx + G f (x) dx, откуда и сле-
дует утверждение 3◦ .
   Упражнение 1. Показать, что требование ограниченно-
сти функции f на E в формулировке свойства 3◦ нельзя отбро-
сить.
   4◦ . Пусть функция f интегрируема и ограничена на множе-
стве E. При изменении ее значений на подмножестве E0 ⊂ E
меры нуль (с сохранением ограниченности) она остается инте-
грируемой и величина интеграла не изменяется.
   Д о к а з а т е л ь с т в о.
   Z              Z                 Z            Z
       f (x) dx =        f (x) dx +   f (x) dx =    f (x) dx.
      E                 E\E0              E0               E\E0
                    R
Следовательно,          E   f (x) dx не зависит от значений f на E0 .

   Следствие 1. Пусть функция f определена и ограничена
на замыкании E измеримого множества E. Тогда интегралы
          Z            Z           Z
             f (x) dx,   f (x) dx,    f (x) dx
                E                  E               int E
существуют или не существуют одновременно и равны в слу-
чае их существования.

   5◦ . (Линейность интеграла). Пусть функции f , g интегри-
руемы на множестве E, α, β ∈ R. Тогда существует интеграл
       Z                          Z              Z
          [αf (x) + βg(x)] dx = α   f (x) dx + β   g(x) dx.
            E                            E                 E

     6◦ .
      Пусть функции f , g интегрируемы и ограничены на E.
Тогда их произведение f g, а если inf |g| > 0, то и частное fg
                                               E
интегрируемы на E.
     7◦ . Пусть функция f интегрируема на E. Тогда и функция
|f | — интегрируема на E и при этом
                    Z             Z
                       f (x) dx 6   |f (x)| dx.
                             E             E

Страницы