Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Глава 19. Кратные интегралы
где функции ϕ, ψ непрерывны на [a, b] и ϕ 6 ψ на [a, b], назовем
элементарной относительно оси Oy областью. Заметим, что
Ω — измеримое замкнутое множество.
x
y
0
a
b
c
d
Ω
Рис. 19.1
Теорема 2. Пусть
Ω — элементарная отно-
сительно оси Oy область,
функция f интегрируема
на Ω и при каждом x ∈
∈ [a, b] существует инте-
грал
R
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y) dy.
Тогда
ZZ
Ω
f(x, y) dx dy =
Z
b
a
Z
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y) dy dx. (5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
c = min
[a,b]
ϕ, d = max
[a,b]
ψ.
Тогда Ω ⊂ P = [a, b] × [c, d].
Введем функцию
˜
f: P → R
˜
f(x, y) =
(
f(x, y) при (x, y) ∈ Ω,
0 при (x, y) ∈ P \ Ω.
Так как функция f интегрируема и ограничена на Ω, то функ-
ция
˜
f, интегрируемая на Ω и на P \ Ω, интегрируема на P .
Аналогично обосновывается существование для каждого
x ∈ [a, b] интеграла
R
d
c
˜
f(x, y) dy =
R
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y) dy.
По теореме 1
0
Z
P
˜
f(x, y) dx dy =
Z
b
a
Z
d
c
˜
f(x, y) dy dx.
Подставляя в это равенство выражение
˜
f через f, полу-
чаем (5).
30                         Глава 19. Кратные интегралы

где функции ϕ, ψ непрерывны на [a, b] и ϕ 6 ψ на [a, b], назовем
элементарной относительно оси Oy областью. Заметим, что
Ω — измеримое замкнутое множество.
     y
     d                                               Теорема 2.          Пусть
                                                  Ω — элементарная отно-
                           Ω                      сительно оси Oy область,
                                                  функция f интегрируема
     c                                            на Ω и при каждом x ∈
     0        a                            b    x ∈ [a,Rb]ψ(x)существует инте-
                      Рис. 19.1                   грал ϕ(x) f (x, y) dy.
         Тогда
                  ZZ                           Z bZ   ψ(x)
                        f (x, y) dx dy =                        f (x, y) dy dx.   (5)
                                                a    ϕ(x)
                  Ω

         Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
                               c = min ϕ,           d = max ψ.
                                   [a,b]                  [a,b]

Тогда Ω ⊂ P = [a, b] × [c, d].
   Введем функцию f˜: P → R
                     (
                       f (x, y) при (x, y) ∈ Ω,
          f˜(x, y) =
                       0        при (x, y) ∈ P \ Ω.
Так как функция f интегрируема и ограничена на Ω, то функ-
ция f˜, интегрируемая на Ω и на P \ Ω, интегрируема на P .
   Аналогично обосновывается существование для каждого
                    Rd              R ψ(x)
x ∈ [a, b] интеграла c f˜(x, y) dy = ϕ(x) f (x, y) dy.
         По теореме 10
                 Z                   Z bZ                 d
                    f˜(x, y) dx dy =                          f˜(x, y) dy dx.
                       P                        a     c

Подставляя в это равенство выражение f˜ через f , полу-
чаем (5).

Страницы