Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава 19. Кратные интегралы
З а м е ч а н и е. Оценка (4) и ее
доказательство сохраняются и при
J(u
0
, v
0
) = 0, если в левой части (4)
вместо µF (Q
h
) написать µ
∗
F (Q
h
).
§ 19.5. Замена переменных в кратном интеграле
Теорема 1. Пусть
F :
(
x = x(u, v),
y = y(u, v)
— отображение открытого измеримого множества G ⊂ R
2
uv
на
открытое измеримое множество G
∗
⊂ R
2
xy
:
R
2
u,v
⊃
G
откр.
измер.
F
G
∗
откр.
измер.
⊂ R
2
x,y
,
со свойствами:
1.
◦
F взаимно однозначно отображает G на G
∗
,
2.
◦
F непрерывно дифференцируемо на G,
3.
◦
J(u, v) =
∂(x, y)
∂(u, v)
6= 0 на G,
4.
◦
F , J непрерывно продолжимы на G,
5.
◦
функция f непрерывна на G
∗
и непрерывно продолжима
на G
∗
.
Тогда
ZZ
G
∗
f(x, y) dx dy =
ZZ
G
f[x(u, v), y(u, v)]
∂(x, y)
∂(u, v)
du dv. (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обе части (1) существуют в силу
непрерывности подынтегральных выражений на замыканиях
измеримых множеств интегрирования.
Будем считать до конца доказательства, что f > 0 на G
∗
.
Это ограничение не снижает общности. В самом деле, если
M > sup
G
∗
|f|, f(x) = f
1
(x) −f
2
(x),
где
f
1
(x) = f (x) + M > 0, f
2
(x) = M > 0,
36                   Глава 19. Кратные интегралы

   З а м е ч а н и е. Оценка (4) и ее
доказательство сохраняются и при
J(u0 , v0 ) = 0, если в левой части (4)
вместо µF (Qh ) написать µ∗ F (Qh ).

 § 19.5. Замена переменных в кратном интеграле
      Теорема 1. Пусть      (
                             x = x(u, v),
                        F :
                             y = y(u, v)
— отображение открытого измеримого множества G ⊂ R2uv на
открытое измеримое множество G∗ ⊂ R2xy :
                                         F
                    R2u,v ⊃           G∗ ⊂ R2x,y ,
                                 G  откр.
                                откр.
                                измер.       измер.

со свойствами:
    1.◦ F взаимно однозначно отображает G на G∗ ,
    2.◦ F непрерывно дифференцируемо на G,
                   ∂(x, y)
      3.◦ J(u, v) = ∂(u, v) 6= 0 на G,
      4.◦ F , J непрерывно продолжимы на G,
      5.◦ функция f непрерывна на G∗ и непрерывно продолжима
                ∗
          на G .
     Тогда
     ZZ                    ZZ
                                                    ∂(x, y)
          f (x, y) dx dy =     f [x(u, v), y(u, v)]         du dv. (1)
                                                    ∂(u, v)
     G∗                     G

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Обе части (1) существуют в силу
непрерывности подынтегральных выражений на замыканиях
измеримых множеств интегрирования.
   Будем считать до конца доказательства, что f > 0 на G∗ .
Это ограничение не снижает общности. В самом деле, если
                M > sup |f |,       f (x) = f1 (x) − f2 (x),
                       G∗
где
              f1 (x) = f (x) + M > 0,            f2 (x) = M > 0,

Страницы