Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§19.5. Замена переменных в кратном интеграле 39
A
∗
k
⊂ A
∗
k
⊂ G, µ(G
∗
\ A
∗
k
) <
1
k
.
Поскольку 0 < f (x, y) 6 M,
ZZ
G
∗
f(x, y) dx dy −
ZZ
A
∗
k
f(x, y) dx dy =
ZZ
G
∗
\A
∗
k
f(x, y) dx dy 6
6 M
1
k
→ 0 при k → ∞. (9)
Подставив в (7) A
∗
k
вместо A
∗
и переходя к пределу при
k → ∞, получаем в силу (9) оценку (8).
4-й ш а г. Установим равенство (1). Пусть эле ментарное
множество A
k
⊂ A
k
⊂ G, µ(G \ A
k
) <
1
k
. Применим доказан-
ное неравенство (8) к обратному отображению F
−1
(якобиан
которого
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∂(x, y)
∂(u, v)
−1
=
1
J(u, v)
ограничен на F (A
k
))
и к функции g(u, v) B f [x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)|. Получим
ZZ
A
k
f[x(u, v), y(u, v)]
∂(x, y)
∂(u, v)
du dv 6
ZZ
F (A
k
)
f(x, y) dx dy 6
6
ZZ
G
∗
f(x, y) dx dy. (10)
Из (10) предельным переходом при k → ∞, как и на тре-
тьем шаге, получаем неравенство, противоположное неравен-
ству (8). Из него и из (8) следует (1). Теорема доказана.
З а м е ч а н и е. Теорема 1 справедлива и при более
общих условиях: вместо условия 4
◦
достаточно предположить,
что произведение f[x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)| непрерывно продол-
жимо на G. Для обоснования в равенстве (1), написанном для
A
k
и F (A
k
) вместо соответственно G и G
∗
, следует перейти к
пределу при k → ∞.
Следствие 1. В условиях теоремы 1
µG
∗
=
ZZ
G
∗
1 dx dy =
ZZ
G
∂(x, y)
∂(u, v)
du dv. (11)
        § 19.5. Замена переменных в кратном интеграле                   39

                                                     1
                A∗k ⊂ A∗k ⊂ G,   µ(G∗ \ A∗k ) <        .
                                                     k
Поскольку 0 < f (x, y) 6 M ,
ZZ                  ZZ                  ZZ
   f (x, y) dx dy −    f (x, y) dx dy =    f (x, y) dx dy 6
G∗                 A∗k                G∗ \A∗k
                                          1
                                    6M      → 0 при k → ∞. (9)
                                          k
   Подставив в (7) A∗k вместо A∗ и переходя к пределу при
k → ∞, получаем в силу (9) оценку (8).
   4-й ш а г. Установим равенство (1). Пусть элементарное
множество Ak ⊂ Ak ⊂ G, µ(G \ Ak ) < k1 . Применим доказан-
ное неравенство (8) к обратному отображению F −1 (якобиан
         ∂(u, v)    ∂(x, y) −1
                          
которого ∂(x, y) = ∂(u, v)         1
                               = J(u,    ограничен на F (Ak ))
                                      v)
и к функции g(u, v) B f [x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)|. Получим
ZZ                                       ZZ
                         ∂(x, y)
    f [x(u, v), y(u, v)]         du dv 6     f (x, y) dx dy 6
                         ∂(u, v)
Ak                                     F (Ak )
                                          ZZ
                                      6              f (x, y) dx dy.   (10)
                                                G∗

   Из (10) предельным переходом при k → ∞, как и на тре-
тьем шаге, получаем неравенство, противоположное неравен-
ству (8). Из него и из (8) следует (1). Теорема доказана.
   З а м е ч а н и е. Теорема 1 справедлива и при более
общих условиях: вместо условия 4◦ достаточно предположить,
что произведение f [x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)| непрерывно продол-
жимо на G. Для обоснования в равенстве (1), написанном для
Ak и F (Ak ) вместо соответственно G и G∗ , следует перейти к
пределу при k → ∞.
   Следствие 1. В условиях теоремы 1
                   ZZ             ZZ
               ∗                        ∂(x, y)
            µG =       1 dx dy =                 du dv.      (11)
                                        ∂(u, v)
                    G∗            G

Страницы