Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава 19. Кратные интегралы
Через F : (x = x(t)) обозначим отображение
R
n
t
⊃
G
откр.
F
G
∗
откр.
⊂ R
n
x
открытого множества G евклидова пространства R
n
t
на откры-
тое множество G
∗
⊂ R
n
x
со свойствами:
1.
◦
F взаимно однозначно отображает G на G
∗
;
2.
◦
F непрерывно дифференцируемо на G;
3.
◦
J(t) =
∂(x
1
, . . . , x
n
)
∂(t
1
, . . . , t
n
)
6≡ 0 на G.
Теорема 3. Пусть выполнены условия 1
◦
, 2
◦
, 3
◦
, t
(0)
∈ G,
G ⊃ Q
h
= {t : t
(h)
i
6 t
i
6 t
h
i
+ h, i = 1, 2, . . . , n} 3 t
(0)
, 0 <
< h 6 h
0
.
Тогда
lim
h→0
µF (Q
h
)
µQ
h
= |J (t
(0)
)|.
Теорема 4. Пусть выполнены условия 1
◦
, 2
◦
, 3
◦
, G, G
∗
— открытые измеримые множества, функция f ограничена на
G
∗
, произведение f (x(t))J (t) ограничено на G.
Тогда
Z
G
∗
f(x) dx =
Z
G
f[x(t)]|J(t)|dt,
если хотя бы один из этих интегралов существует.
Следствие 2. Пусть выполнены условия 1
◦
, 2
◦
, 3
◦
, G, G
∗
— открытые измеримые множества, якобиан J ограничен на
G. Тогда
µG
∗
=
Z
G
∗
dx =
Z
G
|J(t)|dt.
Д о к а з а т е л ь с т в а теорем и следствия аналогичны
приведенным выше для случая n = 2.
42                     Глава 19. Кратные интегралы

     Через F : (x = x(t)) обозначим отображение
                                        F
                          Rnt ⊃ G  G∗ ⊂ Rnx
                                откр.       откр.

открытого множества G евклидова пространства Rnt на откры-
тое множество G∗ ⊂ Rnx со свойствами:
    1.◦ F взаимно однозначно отображает G на G∗ ;
    2.◦ F непрерывно дифференцируемо на G;
                 ∂(x , . . . , x )
     3.◦ J(t) = ∂(t1 , . . . , t n) 6≡ 0 на G.
                   1            n

   Теорема 3. Пусть выполнены условия 1◦ , 2◦ , 3◦ , t(0) ∈ G,
               (h)
G ⊃ Qh = {t : ti 6 ti 6 thi + h, i = 1, 2, . . . , n} 3 t(0) , 0 <
< h 6 h0 .
   Тогда
                       µF (Qh )
                   lim          = |J(t(0) )|.
                   h→0  µQh

    Теорема 4. Пусть выполнены условия 1◦ , 2◦ , 3◦ , G, G∗
— открытые измеримые множества, функция f ограничена на
G∗ , произведение f (x(t))J(t) ограничено на G.
    Тогда       Z              Z
                          f (x) dx =        f [x(t)]|J(t)| dt,
                     G∗                 G
если хотя бы один из этих интегралов существует.

   Следствие 2. Пусть выполнены условия 1◦ , 2◦ , 3◦ , G, G∗
— открытые измеримые множества, якобиан J ограничен на
G. Тогда             Z       Z
                      µG∗ =           dx =         |J(t)| dt.
                                 G∗            G
   Д о к а з а т е л ь с т в а теорем и следствия аналогичны
приведенным выше для случая n = 2.

Страницы