Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

44 Глава 20. Криволинейные интегралы
=
Z
β
α
F (x(t(τ)), y(t(τ)), z(t(τ )))
d~r
dt
(t(τ))
|t
0
(τ)|dτ =
=
Z
τ
−1
(b)
τ
−1
(a)
F (x(t(τ)), y(t(τ)), z(t(τ )))
d~r
dt
(t(τ))
t
0
(τ) dτ =
=
Z
b
a
F (x(t), y(t), z(t))|~r
0
(t)|dt.
З а м е ч а н и е. Последняя замена переменной об-
основана ранее лишь для случая непрерывной функции F (те-
орема 14.5.1). Для ее обоснования в случае интегрируемой
функции F (x(t), y(t), z(t)) достаточно сослаться на следующее
обобщение специального случая теоремы 14.5.1.
Теорема 1 (14.5.1). Пусть функции ϕ, ϕ
0
непрерывны
на отрезке [α, β], ϕ
0
6= 0 на [α, β], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.
Тогда из существования интеграла в одной из частей ра-
венства
Z
b
a
f(x) dx =
Z
β
α
f(ϕ(t))ϕ
0
(t) dt (3)
следует существование интеграла в другой его части и спра-
ведливость равенства (3).
Эта теорема формально содержится в теореме 19.5.2, а не-
посредственно ее доказательство можно получить в виде упро-
щенного аналога доказательства теоремы 19.5.2.
Следствие. Криволинейный интеграл первого рода не за-
висит от ориентации кривой.
В самом деле, если Γ (1) не только гладкая, а гладкая
ориентированная кривая (ее ориентация определяется возра-
станием параметра t), то замена параметра t = t(τ ) = −τ
(−b 6 τ 6 −a) меняет на ней ориентацию на противополож-
ную. В силу свойства 1
◦
величина криволинейного интеграла,
вычисленного с помощью параметра τ , та же, что и вычислен-
ного с помощью исходного параметра t.
Заметим, что гладкая кривая является спрямляемой, и в ка-
честве допустимого параметра можно взять переменную длину
44                       Глава 20. Криволинейные интегралы
             Z   β
                                                                 d~r
     =               F (x(t(τ )), y(t(τ )), z(t(τ )))                (t(τ )) |t0 (τ )| dτ =
              α                                                  dt
         Z   τ −1 (b)
                                                                    d~r
     =                  F (x(t(τ )), y(t(τ )), z(t(τ )))                (t(τ )) t0 (τ ) dτ =
         τ −1 (a)                                                   dt
                                                         Z   b
                                                     =           F (x(t), y(t), z(t))|~r0 (t)| dt.
                                                         a
   З а м е ч а н и е. Последняя замена переменной об-
основана ранее лишь для случая непрерывной функции F (те-
орема 14.5.1). Для ее обоснования в случае интегрируемой
функции F (x(t), y(t), z(t)) достаточно сослаться на следующее
обобщение специального случая теоремы 14.5.1.
   Теорема 1 (14.5.1). Пусть функции ϕ, ϕ0 непрерывны
на отрезке [α, β], ϕ0 6= 0 на [α, β], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.
   Тогда из существования интеграла в одной из частей ра-
венства          Z              b
                                Z                β
                                    f (x) dx =       f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt                         (3)
                            a                    α
следует существование интеграла в другой его части и спра-
ведливость равенства (3).
   Эта теорема формально содержится в теореме 19.5.2, а не-
посредственно ее доказательство можно получить в виде упро-
щенного аналога доказательства теоремы 19.5.2.
   Следствие. Криволинейный интеграл первого рода не за-
висит от ориентации кривой.
   В самом деле, если Γ (1) не только гладкая, а гладкая
ориентированная кривая (ее ориентация определяется возра-
станием параметра t), то замена параметра t = t(τ ) = −τ
(−b 6 τ 6 −a) меняет на ней ориентацию на противополож-
ную. В силу свойства 1◦ величина криволинейного интеграла,
вычисленного с помощью параметра τ , та же, что и вычислен-
ного с помощью исходного параметра t.
   Заметим, что гладкая кривая является спрямляемой, и в ка-
честве допустимого параметра можно взять переменную длину

Страницы